届高三数学排列、组合和二项式定理

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1、1.理解分类计数原理和分步计数原理,会用分类计数 原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题. 2.理解排列、组合的概念,能利用排列公式、组合公 式，解决简单的实际问题. 3.二项式定理:(1)能用计数原理证明二项式定理,(2) 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.,学案19 排列、组合和二项式定理,1.(2009全国)甲组有5名男同学、3名女同学;乙 组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选 出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选 法共有 ( ) A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 解析 若从甲组中选出1名女同学,有 种选法,则甲 组还需从5名男

2、同学中选1名,有 种选法,其余2名同 学还应从乙组的男同学中选,有 种,此时有 =225(种);若从乙组中选1名女同学,有 种选法,则,乙组还需从男同学中选1人,有 种选法,从甲组的5 名男同学中选2名,共有 种,此时有 =120 (种),故共有225+120=345(种)不同选法. 答案 D 2.(2009湖北)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个 不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名 学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 ( ) A.18 B.24 C.30 D.36 解析 用间接法解答:四名学生中有两名学生在一个 班的种数是 顺序有 种,而甲乙被分在同一个 班的有 种,所以种数

3、是,C,3.(2009北京)用0到9这10个数字,可以组成没有重 复数字的三位偶数的个数为 ( ) A.324 B.328 C.360 D.648 解析 若组成没有重复数字的三位偶数,可分为两种 情况:当个位上是0时,共有98=72(种)情况;当 个位上是不为0的偶数时,共有488=256(种)情 况.综上,共有72+256=328(种)情况.,B,4.(2009四川) 的展开式的常数项是_. (用数字作答) 解析 设展开式中第r+1项是常数项，,-20,题型一 计数原理 【例1】(1)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位 同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有 ( ) A.10种 B

4、.20种 C.25种 D.32种 解析 因为每人均有两种选择方法,所以不同的报名 方法有25=32种.,D,(2)(2009全国)甲、乙两人从4门课程中各选修2 门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 解析 甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法为 【探究拓展】加法原理和乘法原理的应用实质是对问 题的分类或分步的讨论,正确的分类或分步的关键是 弄清楚分类或分步的区别,分类是对问题的不同情况 分别处理,而分步是对完成该问题的一种方法分成几 步去做.分步和分类往往交互使用.,C,变式训练1 (1)生产过程有4道工序,每道工序需要安 排一人照看

5、,现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分 别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中 安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人, 则不同的安排方案有 ( ) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 解析 若第一道工序由甲来完成,则第四道工序必由 丙来完成,故完成方案共有 =12种;若第一道工序 由乙来完成,则第四道工序必由甲、丙二人之一来完 成,故完成方案共有 =24种;不同的安排方案 共有 =36种.,B,(2)将1，2，3填入33的方格中,要求 每行、每列都没有重复数字,右面是一 种填法,则不同的填写方法共有( ) A.6种 B.12种 C.24种 D.48种 解析 由于

6、33方格中,每行、每列均 没有重复数字,因此可从中间斜对角线 填起.如图中的,当全为1时,有2种 (即第一行第2列为2或3,当第二列填2时,第三列只能 填3,当第一行填完后,其他行的数字便可确定),当 全为2或3时,分别有2种,共有6种;当分别为1,2,3 时,也共有6种.所以不同的填写方法共12种.,B,题型二 排列与组合 【例2】(1)(2009湖南)某政府召集5家企业的负责 人开会,已知甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人 到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可 能情况的种数为 ( ) A.14 B.16 C.20 D.48 解析 3个来自不同企业的可能情况的种数为,B,(

7、2)12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师 要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺 序不变,则不同调整方法的种数是 ( ) A. B. C. D. 解析 在后排选出2个人有 种选法,分别插入到前 排中去,有 种方法,由乘法原理知共有 种调整方案.,C,【探究拓展】解决排列、组合通常分三步:一,分清问 题的性质是分类还是分步,分类时还要做到不重不 漏;二,分步计算时要先选后排,写出每一类或每一步 的方法种数;三,各分类种数相加或分步种数相乘,然 后得出结果.,变式训练2 (1)(2009湖北)从5名志愿者中选派4人 在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天, 要求星期五

8、有一人参加,星期六有两人参加,星期日有 一人参加,则不同的选派方法共有 ( ) A.120种 B.96种 C.60种 D.48种 解析 从5人中选4人有 种方法,星期五有一人参 加有 种方法,星期六有两人参加有 种方法,共 有 =543=60种选派方法.,C,(2)某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去 一个工厂,每个工厂至少安排一个班,则不同的安排 方法共有_种.(用数字作答) 解析 由题意知必有2个班去同一个工厂,故将5个班 中的2个作为一组,与其他3个班共为4组,再将这4组 安排在4个不同的工厂,所以不同的安排种数为,240,题型三 二项式定理 【例3】(1)(2009江西)若

9、能被7整除,则x,n的值可能为 ( ) A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5 解析 由 分别 将选项A、B、C、D代入检验知,仅有C适合.,C,(2)(2009陕西)若(1-2x)2 009=a0+a1x+a2 009x2 009 (xR),则 的值为 ( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 解析 (1-2x)2 009=a0+a1x+a2 009x2 009, 其中a0=1所以,C,(3)(1+2x)3(1-x)4展开式中x的系数为_. 解析 (1+2x)3(1-x)4展开式中x项为 所求系数为 【探究拓展】利用二项展开式的通项公式求二项式中 的

10、某种特定项是一类典型的问题,首先要确定通项公 式中r的取值范围,还需注意二项式系数与项的系数的 区别与联系.,2,变式训练3 (1)(2009北京)若 (a、b为有理数),则a+b等于 ( ) A.33 B.29 C.23 D.19 解析 又a,b为有理数,a=17,b=12.a+b=29. (2) 的展开式中,常数项为15,则n等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 令2n-3r=0,而r=0,1,2,n,则 则r=2,4,6,8,n=3,6,9,. 此时只有 =15,所以n=6.,B,D,【考题再现】 (2009四川)2位男生和3位女生共5位同学站成一排, 若男生甲不站两端,3位

11、女生中有且只有两位女生相 邻,则不同排法的种数是 ( ) A.60 B.48 C.42 D.36 【解题示范】 解析 方法一 从3位女生中任取2人“捆”在一起记 作A(A共有 种不同排法),剩下一名女生记作 B,两位男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在A、B之,间(若甲在A、B两端,则为使A、B不相邻,只有把男生 乙排在A、B之间,此时就不能满足男生甲不在两端的 要求),此时共有62=12种排法(A左B右和A右B左).最 后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以, 共有124=48种不同排法. 方法二 从3位女生中任取2人“捆”在一起记作A(A 共有 种不同排法),剩下一名女生记作B,两

12、位男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三 类情况:第一类:女生A、B在两端,男生甲、乙在中间, 共有 种排法;,第二类:“捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B和男 生甲只有一种排法,此时共有 种排法. 第三类:女生B和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A和 男生甲也只有一种排法. 此时共有 种排法. 故不同排法为24+12+12=48种. 答案 B 5分,1.两个计数原理的应用:(1)应用分类计数原理要求每 一种方法都能把事件独立完成,即每法皆可完,方法 可分类;应用分步计数原理要求每步均是完成事件必 须经过的若干彼此独立的步骤,即每法必分步,每步 皆未完;(2)在应用分类计数原理和分步计数

13、原理解 决问题时,一般先分类再分步,每一步中可能要用到 分类计数原理;(3)对于复杂问题,往往同时运用两 个原理,恰当地画出示意图或用列出表格的方法来 帮助分析,是使问题形象化、具体化、直观化的有 效手段.,2.关于排列、组合综合题解法的若干技巧：(1)解排 列、组合混合题一般是先组合后排列或先利用元素的 性质进行分类、分步,再利用两个计数原理作最后处 理;(2)对于较难解决的问题可用间接法,但应做到不 重不漏;(3)对于有附加条件的排列、组合应用题,通 常采用以下途径思考:以元素为主,即先满足特殊 元素的要求,再考虑其它元素.以位置为主,即先满 足特殊位置的要求.(4)关于排列、组合问题的求

14、解, 应掌握以下基本方法与技巧:特殊元素(特殊位置) 优先安排;排列、组合混合问题先选后排;相邻问 题捆绑处理;不相邻问题插空处理;定序问题排除,法处理;分排问题直排处理;“小集团”排列问 题先整体后局部;合理分类与准确分步;正难则 反,等价转化.构造模型,解决问题. 3.二项式定理及应用:(1)对于二项式定理中,二项展 开式的特征要分清，清楚各项的变化规律;(2)通项 是解决二项式定理问题的重要公式, 高考中很多问题都是用它来解决;(3)赋值法是求二 项式系数问题的常用方法,给a,b赋予特殊值往往可 以快速解决展开式(部分)系数(绝对值)和等问题的 常用方法;(4)对于二项式相乘的系数求解问

15、题,前后 搭配是常用的有效手段.,一、选择题 1.(2009广东)2010年广州亚运会要从小张、小赵、 小李、小罗、小王五名志愿者中选派四个分别从事 翻译、导游、礼仪、司机四项工作,若其中小张和小 赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工 作,则不同的选派方案共有 ( ) A.36种 B.12种 C.18种 D.48种 解析 分两类:若小张和小赵恰有1人入选,则有选法 若小张、小赵都入选,则有选法 =12,共有选法36种.,A,2.由数字1，2，3，9组成的三位数中各位数字按 严格递增(如“156”)或严格递减(如“421”)顺序排 列的数的个数是 ( ) A.120 B.168 C.204 D.216 解析 可分两步完成,首先选出三个数字,有 种选法,然后再按从小到大或从大到小排列,有2种排 法,所以共有842=168个.,B,3.从1,3,5,7中任取2个数字，从2