协方差矩阵

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1、3.3.1 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ，Y )：,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系问题是用一个什么样的数去反映这种联系,数,Y 之间的某种关系,反映了随机变量X ，,定义 称,协方差记为,称,为(X，Y)的协方差矩阵,可以证明协方差矩阵为半正定矩阵,协方差和相关系数的定义,为X，Y的,若D (X) 0， D (Y) 0 ，称,为X，Y 的相关系数，记为,事实上，,若,称 X，Y 不相关, 利用函数的期望或方差计算协方差,若(X，Y)为离散型，,若(X，Y)为连续型，,协方差和相关系数的计算,求 co

2、v (X，Y)，XY ,例1 已知 X，Y 的联合分布为：,X,Y,pij,1 0,1 0,p 0,0 q,0 p 1 p + q = 1,解,例2 设 ( X ，Y ) N ( 1，12，2，22，)， 求 XY ,解,若 ( X，Y ) N (1，12，2，22，)，则X，Y相互独立,X，Y 不相关,例3 设 X，Y 相互独立，且都服从 N (0， 2)，U = aX + bY，V= aX - bY，a，b为常数，且都不为零，求UV ,解,由,而,故,继续讨论：a，b 取何值时，U，V 不相关？ 此时，U，V 是否独立？,协方差的性质,当D(X ) 0， D(Y ) 0 时，当且仅当,时，

3、等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,协方差和相关系数的性质,证明 令,对任何实数 t ，,即,等号成立,有两个相等的实零点,即,又显然,即,即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式的等号成立,即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为,X，Y 不相关,X，Y 相互独立,X，Y 不相关,若 X，Y 服从二维正态分布，X，Y 相互独立,X，Y 不相关,在例1中已知 X ，Y 的联合分布为,例4 设 ( X，Y ) N (1，4；1，4；0.5)，Z = X + Y，求 XZ,解,定义 设X1，Xn为n个r.v.，记bi

4、j=cov(Xi，Xj)，i，j=1，2，n则称由bij组成的矩阵为随机变量X1，Xn的协方差矩阵B即,以前讲过的n维正态分布的形式中就有协方差矩阵,3.3.2 协方差矩阵,显然,bii=DXi，i =1，2，n bik=bki，i，k =1，2，n,故协方差矩阵B是对称矩阵由柯西-许瓦兹不等式有,如果我们记,则有,因此B为,称为列随机向量X的数学,的方差，其中,期望,对任意实数t1，tn，有,如果记t=(t1，tn)，上式即为,证明 设,协方差矩阵的性质,的概率密度函数，则,以及,分别为,这表示B是非负定的，由矩阵论的二次型理论知，对任意正整数k(1kn)，有,如果X1， ，Xn相互独立，则B为对角矩阵,证明 因为X1， , Xn相互独立，所以当kI时，,所以B为对角矩阵,作业 P208 习题三,35，36,