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1、材料力学（三） 刘鸿文,弯曲变形 应力和应变分析 强度理论,Deformation of bending,State of stress and strain, theories of strength,初参数法,x,q,y,p,m,Initial parameter method,factorial,(a),Y=0,A,B,p,L,写出梁的挠曲线方程,=0,P188(2),见,A,B,p,X=0 y=0,X=L y=0,X=0,例6-4,Deflection equation of beam,若遇到中间有集中力，集中力偶，变化的分布力时，在 后面加一个相应的项，称 马可利项,例6-5,A,p
2、,p,B,a,a,C,求梁B点的挠度， 转角.,Concentrated force, concentrated moment, distributed force,见p198 6-3(b),A,p,p,B,a,a,C,例6-6,写出梁的挠曲线方程,此题在表上查不到 的。用初参数法 就很方便。,a,a,a,p,例6-7 求静不定梁的挠曲线方程,m,L,q,比静定梁变形小5倍,Deformation is less than 5 times in comparison with determinate beam.,二、积分法求解变截面梁的挠曲线方程,A,B,a,2a,3p,EJ,2EJ,c,p,
3、2p,m,y,x1,x2,在C截面上,X1=a，x2=0。 分别代入连续条件,Use integral method to solve flexure equation of beam with varying cross section,习题：6-10（a）（d） 6-11（b）（c）,6-4 用叠加法求弯曲变形,一、载荷叠加：原理是小变形和满足虎克定理。 由前面可知载荷叠加。一个复杂的受力情况可分成几个简单 的受力之和。,每个简单的受力情况可写成,例6-8,A,B,a,3a,p,c,求中点的挠度,A,B,a,3a,c,A,B,a,3a,c,pa,pa,Use superposition m
4、ethod to solve flexure deformation,Superposition of load is based on small deformation and Hookes law.,B,a,3a,c,A,查p190（9）,查p189（5）,A,B,4a,pa,p,例,6-9 求中点C的挠度。,B,c,A,q,L,分析：本题有二种解法,Ask for flexure of midpoint C,B,c,A,L,B,c,A,L,q,qdx,dx,x,一、将qdx看成集中力作用在距原点为x 处。用p190（9）式。,二、利用对称性：,B,c,A,L,B,c,A,L,B,c,A
5、,L,q,q,q,+,=,Utilize symmetric condition,B,c,L,q,+,若求中点C的挠度。它用对称性原理 可知为,A,B,c,L,A,q,q,p,求中点的挠度。 二边为反对称的。中点的挠度为零 本题就容易了。,二、变形叠加 用于变截面梁的计算,原理：,X面上转角为A面转角和AX相对转角,之和。若A面的转角为已知。若求得AX相对转角，则x面转角也 可求出。为了求出AX相对转角，可令,为A点固定端。AX相对转角要注意原梁上,EJ和弯矩都要相等。在计算中一般用等效力系代替。,Superposition of deformation, for the calculatio
6、n of beam with varying cross section,principle,Rotation angle,Point A is a fixed end, it is required that EJ and moment should keep the same value on the beam, if relative rotation angle of AX is calculated.,Equivalent force system,例6-10,B,c,+,A,D,2EJ,EJ,p,求中点的挠度,C,D,B,p,l,l,m,P202 6-13,例6-11 等强度梁受力
7、p的作用，变形读数f，梁长L，厚为t 证明：梁顶上任一点的应变 和挠度f满足：,p,L,t,证明：,习题：6-27 6-40 6-42,6-5 简单静不定梁,A,q,B,C,L,L1,AB梁EJ为常数，BC杆EA为常数。求B点的反力。 解：去BC杆得AB静定梁称为静定基。,q,Rb,B,A,L,静定基不是唯一的。也可解除A点 的刚臂，变成简支梁。,Simple situation of Statically indeterminate beam,Bending rigidity (EJ) of beam AB is a constant, tension rigidity of bar BC
8、is also a constant. Determine the reaction on point B.,通常结构的刚度介于二者之间，因此B点反力不能超过这个范围,二、比较内力和变形,x,Reactions at point B can not exceed the range,Compare internal force and deformation,变形,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,一、改善结构形式，减少弯矩的数值。 有效缩短跨度使挠度有很大的减少。 二、选择合理的截面形状。使惯性矩增加。,例6-12 板厚t，受p力作用，设横面上的应力分布均匀。导出 x面上的剪应力分布规律。,p
9、,p,a,b,x,L,h,Methods to increase bending stiffness,To change the form of beam structure, such as to reduce the level of bending moment and to shorten the span of beam.,Select reasonable shape of cross section, so as to increase moment of inertial.,The thickness of shown plate is t under the action o
10、f force p, assuming uniformly distributed stress on cross section, ask to derive the distribution of shear stress on x cross section.,p,p,a,b,x,L,h,dx,dx,y,例6-13 p力作用于杆的A端，而AB 杆放在刚性平面上。若p0.5ql。 求A点的位移。,p,x,A,C,B,分析：C点的曲率半径为无穷远，它 的弯矩为零。C点可看成固定端。,P force acts on A end of the shown bar, bar AB lies on
11、rigid plane. If p0.5ql, ask for the displacement of point A.,公式 应力 变形 拉伸 扭转 弯曲,第七章 应力和应变分析 强度理论,7-1 应力状态概念,一、工程上遇到的杆件受力形式是多种多样的。但总可以根 据三种基本变形受力特点，分解成几种简单形式。在各种基 本变形的内力图中找出危险截面。根据横面上的应力公式， 找出最大应力值。根据叠加原理再构成复杂应力受力情况。,二、梁的危险截面上，上、下表面的正应力最大，剪应力为零。 中性轴处的剪应力最大，正应力为零。根据强度公式可判断截 面上任意一点有正应力也有剪应力，它的强度问题还要研究它
12、的不同方位的应力。,研究一点且不同方位的应力情况，称为一点的应力状态。,Analysis of stress and strain, theory of strength,Stress state,Investigation of stress variation in different directions on a point is called as stress state of the point.,In engineering, various loading forms on a member will be encountered. The complicated loadi
13、ng action can be decomposed into several simple situations in terms of the three underlying deformations of bar.,研究方法：用微小六面体。1、它有一个平面是横面。横面上 的应力由公式可知。2、相互垂直面上剪应力相等。3、相互垂直面上正应力之和为常数。,Method of Investigation,Utilizing an infinitesimal cube element, 1. One of its surfaces is the cross section and stres
14、ses on the section is calculated using stress equation. 2. Shear stresses on mutually perpendicular planes equal to each other (Theorem of conjugate shear stress). 3. Summation of the normal stresses on the cube is constant which is called as the first invariant of stress.,六面体dx，dy，dz 0. 可认为六个面上应力分布均匀。,相互平行的平面上的应力相等。过该点的平行平面上的应力，由平衡方程可知，它们相等。六面体六个表面上的应力表示过该点的三个方位上的应力。,Stresses on mutually parallel planes equ
