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1、第一节 实二次型及其标准形,线性代数,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,先看书上实例1.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,解,例,见书上例2、例3.,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,设,三、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得 为对角矩阵。,注意等价、相似和合同的区别。,定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使 得 ，则称A与B合同，记为,方阵合同的性质：,（1）反身性,（2）对称性 若 ，则,（3）传递性 若 ，则,说明：两个相似的方阵必
2、等价，两个合同的方阵也必等价。反之都不成立。等价的方阵未必相似，也未必合同。两个正交相似的方阵必正交合同。反之，两个正交合同的方阵也必正交相似。因此，两个方阵正交相似与正交合同是一回事。然而，两个同阶方阵既相似又合同时，它们未必是正交相似的，也未必正交合同。,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例3,用配方法化二次型为标准形,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成
3、平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,见书上例6、例7.,四、二次型的规范形,前面我们介绍了两种将二次型变换成标准形的方法，不 管是通过哪一种方法得到的标准形，都可以进一步化简。,见书上例8.,定义：所有平方项的系数均为1，-1或0的标准二次型称为 规范二次型。,定义： 规范形中的 k 称为二次型 （或对称矩阵A）的正惯性指数，称 r-k 为二次型 （或对称矩阵A）的负惯性指数， 称为它们的符号差.,定理：对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数。,证明见书上P171.,看书上例9.,五、小结,1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法,2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换，如配方法,思考题,思考题解答,结束,
