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1、二次规划问题的变时滞神经网络模型的全局指数稳定,报告人： 张锐 指导教授：井元伟教授 2009年5月20日,主要内容,引 言,二次规划问题广泛存在于现实生活当中，无论是工程应用、经济生活还是现代管理科学，优化计算都起着关键作用。 在现代科学与工程计算中, 经常需要进行实时优化计算。传统的优化计算技术因耗时过多而不能满足此类优化计算的需要。 神经网络具有内在的大规模并行运算和快速收敛等特性，解决优化问题的运算时间比传统算法快出很多。,引 言,神经优化计算的研究进展 1982年，Hopfield提出了著名的Hopfield神经网络 ，引进了能量函数的概念，为神经网络应用于优化问题奠定了基础。 19
2、86年，由Tank和Hopfield首次提出了解决线性规划问题的神经网络。 Kennedy和Chua为保证网络收敛提出一个改进的网络模型，其中的能量函数是不精确的罚函数。只有当罚参数趋于无穷大时，才可获得优化问题的近似解，且当罚参数过大时，电路亦难以实现。,引 言,为避免罚函数存在的缺陷，文献4给出了由两个子系统组成的网络模型，但该模型的解轨迹在最优解附近摄动，不能保证网络的输出为精确度较好的解。 基于对偶和映射理论，Xia等人先后提出了原始-对偶神经网络和投影神经网络，求解线性和二次规划问题，但网络结构复杂，在电路实现中仍需要大量参数。 以上研究都是在神经元传输和瞬时响应 无时延的情况下进行
3、的。,引 言,时滞神经网络稳定性研究意义： 在神经网络电路实现中，时滞是不可避免的，时滞的存在可以导致系统的不稳定，这是目前研究时滞神经网络稳定性的一个主要原因。 时滞的存在能够改变神经网络的拓扑结构，进而改变神经网络的动态行为，从而可以利用人为引入的时滞来达到改变网络动态行为的目的。所以，研究带有时滞的神经网络求解优化问题更具有实际价值,引 言,文献13-14利用常时滞神经网络研究了二次规划最优解求解问题。考虑到时变时滞在电路实现中的普遍存在性，本文提出了一种变时滞Lagrange神经网络求解二次规划问题最优解的求解方法。利用不等式技术和LMI技术，得到了全局指数稳定的两个条件。所得到的稳定
4、判据能够适应慢变时滞和快变时滞两种情况，具有适用范围宽、保守性小和易于验证等特点。通过几个注释说明和数值仿真示例验证了所得结果的有效性。,二次规划问题及变时滞神经网络模型建立,考虑如下二次规划问题： (1) 其中： 为设计变量， 为半正定矩阵， ， ， 。 并且假设可行域 为非空集合。 定义Lagrange函数 为： 其中： 为Lagrange乘子。,二次规划问题及变时滞神经网络模型建立,根据KKT条件可知: 是二次规划问题(1)的解，当且 仅当存在 ，使得满足如下条件： 其中: 为 的梯度。 令： 则 解决问题(1)的Lagrange神经网络为：,，,，,(2),(3),二次规划问题及变时滞
5、神经网络模型建立,时变时滞Lagrange神经网络： 其中： ，时滞 满足 ， 。 注1：在文献13-14中，研究的是定时滞的Lagrange神经网 络求解问题(1)。但是，定时滞是变时滞的理想化，所以本 文建立的变时滞网络(4)来求解问题(1)更具有实际意义。,(4),二次规划问题及变时滞神经网络模型建立,设 是网络(4)的一个平衡点。为了方便，我们对网络(4)做 变换 ，则式(4)等价变换成： 其中： ， 。 定义1：在区间 上，对于任意有限的 ，如果存在 标量 ， ，使得 成立，则称 系统(5)在平衡点 处是全局指数稳定的。,(5),二次规划问题及变时滞神经网络模型建立,设 是一个在 上
6、的非负连续函数，对于 和 ，当 时有如下引理： 引理1：若不等式 成立，则有 成立。 引理2：给定任意对称正定矩阵 ，标量 ，向量函数 ，则有如下不等式成立,二次规划问题及变时滞神经网络模型建立,引理3：假设 , 和 为适当维数的实矩阵，且 ，则 对于任意适当维数的向量 和 ，有如下不等式成立:,主要结果,定理1：如果存在对称正定矩阵 , , 和 ，使得如下LMI 成立： 则系统(5)在平衡点 处是全局指数稳定的。其中：,(6),主要结果,证明：考虑如下Lyapunov泛函： 其中： 沿着网络(5)的轨迹对 求导，并根据引理2，有下式成立,(7),主要结果,得到 其中 如式(6)中所定义，且
7、下面讨论网络(5)的全局指数稳定性。 由式(13)可以得到： 其中,(13),(14),主要结果,对式(14)两边求积分，得到 另外，从式(7)可知： 其中 因此 利用引理1，可知,(15),主要结果,利用式(7)和引理3，可得 令 则 由式(15)可得 由定义1可知系统(5)在平衡点 处是全局指数稳定的。 证毕。,主要结果,注2：定理1是通过LMI方法得到的依赖时滞上界的指数稳定条件，且稳定条件通过MATLAB的LMI工具箱很容易得到验证。 注3：在神经网络指数稳定性的研究中，许多文献都是在Lyapunov泛函中增加一个指数因子的方法来证明的，且指数收敛率是通过求解一个超越方程得到的。与之不
8、同，我们没有引入指数因子，而是利用引理1来证明指数稳定性的。指数稳定证明过程被简化了，且指数收敛率也容易获得。 注4：式(6)不限定 ，也就是说定理1可应用到快时变时滞，也可应用到慢时变时滞。,主要结果,定理2：如果存在对称正定矩阵 , , 和 ，正定对称矩 阵 ，以及适当维数矩阵 ， ， ， ，使得如下LMI成立：,(16),主要结果,则系统(5)的平衡点 是全局指数稳定。其中：,(17),(18),，,主要结果,证明：选取Lyapunov泛函与定理1中的相同。 利用Leibniz-Newton公式，对于任意的适当维数矩阵 ， ，有如下等式成立： 对于任意的正定对称矩阵,(22),主要结果,
9、对于任意适当维数矩阵 ， 满足如下等式： 沿着网络(5)的轨迹对 求导，得到： 其中 由式(16)-(18)，可知 。余下证明部分与定理1相似。 证毕。,(23),仿真研究,考虑形如式(1)的二次规划问题，其中： 该优化问题具有唯一平衡点 若采用Lagrange网络模型(3)来求解优化问题，因为具 有三个特征值 ，神经系统(3)将呈现周期 解，见图1，显然系统的平衡点不是稳定的。,仿真研究,图1： 时的模型(5)的状态轨迹,仿真研究,现考虑网络模型(5)，当指数收敛速率为 ， 为单位 矩阵时，在 时通过LMI求解本文定理2可得到LMIs中的各个矩 阵。 状态轨迹如图2所示，由图形中的状态轨迹可知，网络收敛到 最优解 。 按照文献13中的定理3计算得到的最大时滞上界为 ， 文献14中的定理1要求 。显然，本文的结果显著改进了 文献13-14中的结果。,仿真研究,图2： 时的模型(5)的状态轨迹,结 语,本文，提出了一种等式约束下二次规划问题的变时滞神经网络模型，并对时滞神经网络稳定性进行了分析，得到两种稳定结果，所得结果具有能够适应快/慢时变时滞，保守性小和易于验证等特点。数值例子验证所提方法的有效性。,谢 谢,
