《工程弹塑性力学》ppt课件

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1、工程弹塑性力学 (有限元、塑性力学部分),演示稿,第0章 平面问题的有限单元法,0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题,0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示,弹性力学问题的求解方法： 解析方法：函数解、级数解少数简单问题 数值方法： 有限单元法的发展概况 1956年提出 1960-70年代理论基础研究 1960至今：实际工程应用、复杂问题理论研究 通用有限元软件：SAP、ADINA、NASTRAN ANSYS、ABAQUS等,基本量及基

2、本方程的矩阵表示 1. 基本量： 2. 基本方程：,3. 虚功方程： 外力虚功=内力虚功 在集中力F作用下，虚功方程简化为 F=U1 V1 U2 V2 Un VnT 为结点力向量； d=u1 v1 u2 v2 un vnT 为结点位移向量。,0.2 有限单元法的概念,1. 离散化 划分为有限数目、有限大小的单元。 平面问题的常用单元：,三结点三角形单元,六结点三角形单元,矩形单元,任意四边形单元,8结点曲边四边形单元,2. 单元分析 建立： Fe=kde k：单元刚度矩阵 单元结点力向量Fe=Ui Vi Uj Vj Um VmT 单元结点位移向量de=ui vi uj vj um vmT 体力

3、、面力 等效结点荷载 3. 整体分析 建立： F=Kd， K：整体刚度矩阵 由各结点平衡F=R，得有限元方程： Kd= R,静力等效,0.3 位移模式与解答的收敛性,1. 什么是位移模式（位移函数） 利用单元的结点位移将整个单元的位移分量表 示为坐标的函数。 2. 三结点三角形单元的位移模式 设：u=a1+a2 x+a3 y v=a4+a5 x+a6 y 系数a1a6由结点位移 ui , vi , uj , vj , um , vm确定。,将位移模式写成结点位移的显式： u= Niui+ Njuj +Nmum v= Nivi+ Njvj +Nmvm Ni、Nj、Nm：形函数 (插值函数),形函

4、数的性质 (1) (Ni )i=1，(Ni )j=0，(Ni )m=0 (2) 单元内任一点：Ni+Nj+Nm=1 3. 位移模式的矩阵表示,4. 位移模式应满足以下条件，才能保证有限元解答收敛： (1) 位移模式必须能反映单元的刚体位移 (2) 位移模式必须能反映单元的常量应变 (3) 位移模式应尽可能反映位移的连续性 三结点三角形单元的完备性和连续性： (1) 反映刚体位移： (2) 反映常量应变：ex=a2， ey=a6，gxy=a2+a3,三结点三角形单元的完备性和连续性： (3) 位移连续性： 单元内：单值连续； 相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2)

5、？ ij边的方程：y=ax+b，则 uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两点的结点位移唯一确定。,0.4 单元刚度矩阵,建立： Fe=kde 单元刚度矩阵： 结点位移 位移 应变 应力 结点力 de f e s Fe,B：应变矩阵； S：应力矩阵； 三结点三角形单元中，B、 S 的元素均为常数，故这种单元又称 常应变单元，或常应力单元。,k元素的物理意义 kpq：第q个结点位移分量为单位位移（其它结点位移=0），所引起的第p个结点力分量。 如 k25： k的性质： (1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；

6、(3) 每行（列）元素之和为零。 (4) k取决于单元的形状、方位和弹性常数，与所在位置（即平移或np 转动）无关。,0.5 等效结点荷载,非结点荷载需等效移置 到结点上。 移置原则：静力等效原则 原荷载与移置后的结点荷载在任意虚位移上所作虚功相等。 集中荷载P的移置：Re=NTP 分布体力p的移置： 分布面力p的移置：,0.6 整体刚度矩阵,整体刚度矩阵可由结构的 各单元刚度矩阵集成。 1. 划分单元：4个单元，6个结点 编号：单元(1)(4)；结点16 2. 局部编码与整体编码的关系：,3. 计算单刚 4. 对号入座，形成总刚,整体刚度元素Kpq的物理意义 结构第q个结点位移为单位位移（其

7、它结点位移=0）时，所引起的第p个结点力。 K的性质： (1) 对称性 (Kpq= Kqp), 主对角元素必为正； (2) 稀疏性，且一般为带状分布； 平面问题最大半带宽= 2(单元结点号之差最大值+1) (3) 引入约束条件后为正定矩阵。,利用对称稀疏性， K可用半带宽存储。,0,答：,例：试求图示结构总刚K中 的22子块K41、 K42、 K44、K45、 K46。 已知两种单元的刚度矩阵均为：,0.7 单元划分应注意的问题,1. 单元大小及疏密根据精度、计算能力综合. 主要部位、应力（位移）变化大的部位划细 应力误差与单元尺寸成正比 位移误差与(单元尺寸)2成正比 2. 单元的三边应尽量

8、接近；应力、位移误差反比于最小内角的正弦； 3. 结构尺寸或材料突变处划作单元边界，附近单元划小； 4. 荷载突变或集中荷载处布置结点，附近单元划小。,第1章 弹塑性力学基础,1.1 应力张量 1.2 偏量应力张量 1.3 应变张量 1.4 应变速率张量 1.5 应力、应变 Lode参数,1. 一点的应力状态 一点的应力状态可由过该点 的微小正平行六面体上 的应力分量确定。,1.1 应力张量,应力张量：,下标1，2，3表示坐标 x1, x2, x3（即x, y, z）方向. 2. 一点斜面上的应力,i ：自由下标；j（或k）为求和下标（同一项中重复出现）。,正应力sN和剪应力tN ：,张量的求

9、和约定 ：,3. 主应力及其不变量,主应力、主平面、主方向 以l表示主应力， l1, l2, l3表示主方向的方向余弦，则： SN1=ll1, SN2=ll2, SN3=ll3,dij符号： i=j时，dij=1； ij时，dij=0。即,方向余弦l1, l2, l3满足 l12+l22+l32=1， 即lili=1 要使l1, l2, l3不全为零 (方程组有非零解)，则,展开得l的三次代数方程：,解方程可得三个实根，即为三个主应力s1, s2, s3 J1, J2, J3称为dij 的第一、第二、第三不变量，不随坐标系的选取而变。 若用主应力表示，则,主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数

10、值为,主剪应力面（t1 ）,4. 八面体上的应力,沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八面体。 八面体的法线方向余弦： 八面体上的正应力与剪应力：,八面体（每个坐标象限1个面） 各面上应力在坐标轴上投影的数值相等：,1.2 偏量应力张量,应力张量的分解 平均正应力s =(s11+s22+s33)/3= J1/3，不产生塑性变形 应力分量=平均应力+偏量应力 应力张量sij= sm+Sij,Sij 与sij类似，也是二阶应力张量，也具有主平面、主方向和主值。,2. 主偏量应力及其不变量,Sij 的主轴方向与sij 的主方向一致，主值为 S1= s1-s ， S2= s2-

11、s ， S3= s3-s 满足三次代数方程式：,利用J1=0，不变量J2还可写为,3. 等效应力,等效应力（应力强度）,等效剪应力（剪应力强度）,八面体上的剪应力t8与J2之间的关系：,1.3 应变张量,一点的应变状态 工程应变分量（几何方程）：,2. 主应变、应变张量不变量 eij: 二阶对称张量。主应变e1, e2, e3 满足： ei3 -I1ei2 -I2ei -I3 =0 I1、I2 、I3 为应变张量不变量。,3. 主偏量应变及其不变量,eij 的主轴方向与eij 的主方向一致，主值为 e1= e1-e ， e2= e2-e ， e3= e3-e 满足三次代数方程式：,等效应变（或

12、称应变强度）：,等效剪应变（或称剪应变强度）：,例题：已知结构内某点的应力张量如下式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。,解：,关于主应力的方程为：,1.4 应变速率张量,应变速率张量 变形过程中，物体各质点均处于运动状态。经dt时间，质点产生的位移及应变为：,1.5 应力、应变Lode参数,1. 应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）,若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态（各向等拉或各向等压），则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。 应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小（直径）则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。 一点应力状

13、态中的主应力按同一比例缩小或增大（这时，应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变），则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。,2. 应力Lode参数 （1）球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数Lode参数：,（2）应力Lode参数的物理意义： 与平均应力无关； 其值确定了应力圆的三个直径之比； 如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同； 所以，Lode参数是排除

14、球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。,（3）简单应力状态的Lode参数,单向压缩(s1=s2=0, s30, s2=s3=0) ms=1 ms=-1,纯剪(s10, s2=0, s3=-s1): ms=0,3. 应变Lode参数 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数： 如果两种应变状态的me 相等，则表明它们所对应的应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。,第5章 简单应力状态的弹塑性问题,5.1 基本实验资料 5.2 应力应变的简化模型 5.3 应变的表示法 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架 5.6 加载路径对桁架内应

15、力和应变的影响,5.1 基本实验资料,1. 拉压应力-应变曲线 （1）单向拉伸曲线,（a）有明显屈服极限,ss：屈服应力,（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料） 应变10%时，基本一致； 应变10%时，较大差异。,一般金属的拉伸与压缩曲线比较,（3）反向加载 卸载后反向加载，ss ssBauschinger效应,(4) 断裂特性 伸长率： 截面收缩率： dk 5%：塑性材料；低碳钢dk=20% 30% dk 5%：脆性材料。,2. 静水压力试验 (1) 体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式)：,10000大气压下，钢em= -2.2%；镍em= -1.8%。 对一般金属材料，静水压力引起的体积改变是弹性的，且体积应变很小，一般可忽略。 (2) 静水压力对屈服极限的影响,(2) 静水压力对屈服极限的影响 bridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。 可见，静水压力对屈服极限的影响常可忽略。,5.2 应力-应变简化模型,一般应力-应变曲线： s =Ee ， e es (屈服后) 应力-应变简化模型： （简单加载模型） 1. 理想弹塑性模型,1. 理想弹塑性模型,sign为符号函数：,用应变表示的加载准则：,2. 线性强化弹塑性模型,2. 线性强化弹塑性模型