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1、,专题二 函数与导数,1,要点回扣,1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏. 对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同.,问题1 函数y 的定义域是_.,2,2.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.,问题2 已知f(cos x)sin2x，则f(x)_.,1x2(x1,1),3,3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.,4,4.判断函数的奇偶
2、性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.,5,f(x)f(x)，f(x)为奇函数. 答案 奇,6,5.弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. (2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|). (3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)0. 故“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件.,7,8,解析 由题意可知f(0)0，即lg(2a)0， 解得a1，,函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x
3、)是减函数， 故f(x)y1y2是增函数.选D. 答案 D,9,6.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.,(，0)，,(0，),10,7.求函数最值(值域)常用的方法： (1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数. (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数. (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数. (4)导数法：适合于可导函数. (5)换元法(特别注意新元的范围).,11,(6)分离常数法：适合于一次分式. (7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数
4、的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.,12,13,14,8.函数图象的几种常见变换 (1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移“上加下减”. (2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|). (3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；,15,函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称； 函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0 (y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称.,16,问题8 函数y|log2|
5、x1|的递增区间是_ _.,作图可知正确答案为0,1)，2，).,0,1)，,2，),17,18,10.二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系. (2)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0)； 顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)； 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).,19,(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图. 尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数
6、或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.,20,问题10 若关于x的方程ax2x10至少有一个 正根，则a的范围为_.,21,22,(2)指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0).,23,问题11 函数yloga|x|的增区间为_.,答案 当a1时，(0，)； 当0a1时，(，0),24,12.幂函数 形如yx(R)的函数为幂函数. (1)若1，则yx，图象是直线. 当0时，yx01(x0)图象是除点(0,1)外的直线. 当0
7、1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的.,25,当1时，在第一象限内，图象是下凸的. (2)增减性：当0时，在区间(0，)上，函数yx是增函数，当0时，在区间(0，)上，函数yx是减函数.,B,26,13.函数与方程 (1)对于函数yf(x)，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.事实上，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根. (2)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间a，b内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，此时这个c就是方程f(x)0的根.反之不成立.,27,问题13 已知定
8、义在R上的函数f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中函数yg(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)0在下面哪个范围内必有实数根( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),28,解析 f(x)(x2)(x1)g(x)3x4， f(1)031410. 又函数yg(x)的图象是一条连续曲线， 函数f(x)在区间(1,2)内有零点. 因此方程f(x)0在(1,2)内必有实数根. 答案 B,29,30,31,15.利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为减函数；
9、如果在某个区间内恒有f(x)0，那么f(x)在该区间内为常函数. 注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0.增函数亦如此.,32,问题15 函数f(x)ax3x2x5在R上是增函数，则a的取值范围是_.,解析 f(x)ax3x2x5的导数f(x)3ax22x1.,33,16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)x3，有f(0)0，但x0不是极值点.,x1,34,35,36,37,易错点1 函数概念不清致误,易错点2 忽视函数的定义域致误,易错点3 混淆“切点”致误,易错警示,易错点4 极值的概念不清致误,易错点5 错误利
10、用定积分求面积,38,易错点1 函数概念不清致误,函数f(x)的定义域为x|x2或x2.,39,找准失分点,设x23t，则x2t3，,f(x)的定义域为x|x1.,40,易错点2 忽视函数的定义域致误,41,找准失分点,对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，或f(x)f(x).,42,即函数的定义域是x|1x1，由于定义域不关于原点对称，,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.,43,易错点3 混淆“切点”致误,例3 求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程.,错解 y3x22， ky|x131221， 切线方程为y1x1，即xy20.,44,找准失
11、分点,错把(1，1)当切点.,正解 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为,45,又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得,整理，得(x01)2(2x01)0，,故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，,即xy20，或5x4y10.,46,易错点4 极值的概念不清致误,例4 已知f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则ab_.,错解 7或0,47,找准失分点,x1是f(x)的极值点f(1)0； 忽视了“f(1)0 x1是f(x)的极值点”的情况.,正解 f(x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，得,48,当a4，b11时， f(x)3x28x11(3x11)(x1
12、) 在x1两侧的符号相反，符合题意. 当a3，b3时， f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，,49,所以a3，b3不符合题意，舍去. 综上可知a4，b11，ab7. 答案 7,50,易错点5 错误利用定积分求面积,例5 求曲线ysin x与x轴在区间0,2上所围部分的面积S.,51,找准失分点,面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数.所以，不应该将两部分直接相加.,答案 4,52,查缺补漏,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,53,查缺补漏,B项，函数y(x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故错误；,D项，
13、函数ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错误.,答案 A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,54,查缺补漏,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,55,查缺补漏,答案 C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,56,查缺补漏,3.下列各式中错误的是( ) A.0.830.73 B.log0.50.4log0.50.6 C.0.750.1lg 1.4,解析 构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数yx3，为增函数，故A对； 对于B、D，构造对数函数ylog0.5x为减函数，ylg x为增函数，B、D都正确； 对于C，构造
14、指数函数y0.75x，为减函数，故C错.,C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,57,查缺补漏,4.函数f(x) log2x的一个零点落在下列哪个区间( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),解析 根据函数的零点的存在性定理得f(1)f(2)0.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,58,查缺补漏,5.(2014天津)函数f(x) (x24)的单调递增区间是( ) A.(0，) B.(，0) C.(2，) D.(，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,59,查缺补漏,解析 因为y t在定义域上是减函数，,所以求原函数的单调递增区间， 即求函数tx24的单调递减区间， 结合函数的定义域，可知所求区间为(，2). 答案 D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,60,查缺补漏,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,61,查缺补漏,由图象知只有D正确. 答案 D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,62,查缺补漏,1,2,3,4,5
