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1、一、考查向量的基本概念 做此类题，前提是熟悉有关的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模) (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的,(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量规定：0与任一向量平行 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 (7)用向量表示点的位置,误区警示 (1)数量与向量不同，数量只有大小，数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才可以比较大小 (2)平行向量与相等向量有区别，相反向量大小相等，方向相反 (3)00，区别在于一个是向量，一个是标量 (4)有向线段有起点、终
2、点、方向；而线段都没有，只有端点,A2 B3 C4 D5 解析 选C.两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故不正确；,点评 本题实际上是多项判断选择题，主要考查基本概念与结论，但稍有不慎，就会导致误选，因此，对思维的严密性、判断的准确性要求较高只有概念准确，基础扎实，抓住向量的大小与方向两个要素，注意零向量的特殊性，结合正反举例，才能避开陷阱而得解,二、考查向量的线性运算与线性表示、向量的共线问题 解答此类问题，要深刻理解向量线性运算的几何意义及坐标表示，理解平面向量基本定理，熟练地将一个向量用不共线向量线性表示，下列内容须熟知 1加法运算
3、加法法则：,运算性质：abba，(ab)ca(bc)，a00aa. 坐标运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2),2减法运算 减法法则： 坐标运算： 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2) 设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,3实数与向量的积 定义：a表示一个向量，当0时，a与a同向， 当0时，a与a反向，当0时，0a0. 运算律：(a)()a，()aaa，(ab)ab， 坐标运算：设a(x，y)，则a(x，y) 4平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有
4、一对实数1、2，使a1e12e2.,误区警示 (1)向量的坐标与向量终点的坐标的关系：向量的坐标等于向量终点的坐标减去起点的坐标，只有当起点为原点时，向量坐标才与终点坐标相同 (2)向量加法的三角形法则与多边形法则，要点是“首尾相接、首指向尾” 向量减法的三角形法则，必须满足起点相同这个条件，其规则是“同始连终，指向被减” 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量,(4)若ab，则存在惟一实数，使ab(前提是b0)若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10. (5)基底的两个基向量不共线，故一定不是0.,例2 已知a(1，2)，b(2,3)，c(m，1)，若(ca)b，则m
5、_. 解析 ca(m1,1)，(ca)b，,例3 已知平面内三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1) (1)求满足ambnc的实数m、n； (2)若(akc)(2ba)，求实数k； (3)若向量d(x，y)满足(dc)(ab)，且|dc|1，求d.,分析 (1)可由向量线性运算与向量相等求解 (2)可由向量线性运算与向量平行的坐标表示求解 (3)可由向量线性运算与平行的坐标表示及模的定义求解 解析 (1)ambnc， (3,2)(m4n,2mn),三、考查数量积的定义、运算律、坐标表示，向量的模、夹角，垂直关系及其坐标表示 解决此类题须牢记相关定义、公式及运算律 1平面向量的数量积 (
6、1)定义：ab|a|b|cos(a0，b0,0180).0a0. (2)运算律：abba， (a)ba(b)(ab)， (ab)cacbc.,(3)坐标运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.,误区警示 1两个向量的数量积是一个实数而不是向量，这个实数的正负取决于两个向量的夹角 当a与b夹角为锐角时，ab0，但ab0时，a与b可能同向；当a与b夹角为钝角时，ab0，但ab0时，a与b可能反向 a与b同向时，ab|a|b|. a与b反向时，ab|a|b|. |ab|a|b|总成立 (ab)ca(bc),2ab0 (a0)/ b0，只能得出ab. 3数量积不满足消去律
7、abac/ bc. 由abac只能得出a(bc)0. 4a在b方向上的投影为|a|cos，b在a方向上的投影为|b|cos两者易混，它们都是数量,答案 D,例5 (09福建文)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于 ( ) A以a，b为邻边的平行四边形的面积 B以b，c为邻边的平行四边形的面积 C以a，b为两边的三角形的面积 D以b，c为两边的三角形的面积,解析 如图(1)，ac， cosb，csina，b， |bc|b|c|cosb，c| |b|c|sina，b| |a|b|sina，b|b|h. |bc|表示a，
8、b为邻边的平行四边形的面积 答案 A,例6 已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120. (1)求证：(ab)c； (2)若|kabc|1(kR)，求k的取值范围 解析 (1)(ab)cacbc |a|c|cos120|b|c|cos1200， (ab)c.,四、考查平面向量的应用 解答此类题要抓住向量的线性运算、数量积运算、模、夹角等的几何意义和物理意义 平面向量的应用主要体现在两个方面，一是在平面几何中的应用，向量的线性运算和全等、平行、相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题,例7 用力F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为，则F对物体G所做的功为( ) A|F|s|cos B|F|s|sin C|F|scos D|F|ssin 答案 B,例8 已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：APAB. 证明 建立如图直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1),
