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1、第6章 一 阶 电 路,零输入响应 零状态响应 全响应,重点掌握,基本信号 阶跃函数和冲激函数,稳态分量 暂态分量,动态电路：含储能元件L(M)、C。KCL、KVL方程仍为代数方程，而元件方程中含微分或积分形式。因此描述电路的方程为微分方程。 (记忆电路),电阻电路：电路中仅由电阻元件和电源元件构成。KCL、KVL方程和元件特性均为代数方程。因此描述电路的方程为代数方程。 (即时电路),6-1 动态电路概述,一、 电阻电路与动态电路,S未动作前,S接通电源后进入另一稳态,i = 0, uC = 0,i = 0, uC= US,二、 什么是电路的过渡过程？,过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个
2、稳态需要经历的过程。,初始 状态,过渡 状态,新稳态,三、过渡过程产生的原因,1. 电路中含有储量元件(内因),能量不能跃变,2. 电路结构或电路参数发生变化(外因),支路的接入、断开；开路、短路等,参数变化,换路,四、分析方法,一阶电路：一阶微分方程所描述的电路.,二阶电路：二 阶微分方程所描述的电路.,( t0 ),动态电路的阶数：,高阶电路：高 阶微分方程所描述的电路.,6-2 阶跃函数和冲激函数,一、单位阶跃函数 (Unit step function),1. 定义,2. 延迟单位阶跃函数,t0,延迟单位阶跃函数可以起始任意函数,例1., (t),(t t0),例2.,二、单位冲激函数
3、(Unit Impulse Function),1. 单位脉冲函数,2. 定义,k(t),例., 0,uc U(t),iC CU (t),当 减小,iC = CUS (t),t = t0时合S ,t = 0时合S,延迟单位冲激函数 (t-t0):,3. 函数的筛分性质,同理有,4. (t) 和 (t)的关系,= (t),例.,解:,f(t)在t=0时连续,一、t = 0+与t = 0 的概念,t=0时换路,t = 0 t = 0的前一瞬间,t = 0+ t = 0的后一瞬间,t = 0 换路瞬间,6-3 电路中起始条件的确定,t = t0 ： t0的前一瞬间；t = t0+： t0的后一瞬间。
4、,初始条件为 t = 0+时u 、i 及其各阶导数的值.,(t0),t = t0换路：,二、换路定则 (开闭定则),当t = 0+时,qC (0+) = qC (0),uC (0+) = uC (0),当i(t)为有限值时,qC=CuC,电荷守恒,换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,当i为冲激函数时:,跳变！,当t = 0+时,L (0+) = L (0),iL (0+) = iL (0),当u(t)为有限值时,L=LiL,磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,小结：,(2) 换路定则是建立在能量不能突变的基础
5、上.,(1) 一般情况下电容电流、电感电压均为有限值， 换路定则成立。,换路定则:,特例：,当u为冲激函数时,三、电路初始条件的确定,例1.,求 uC (0+) ,iC (0+).,t = 0时打开开关S.,由换路定则：,uC (0+) = uC (0)=8V,0+等效电路：,解：,例2.,t = 0时闭合开关S. 求uL(0+).,iL(0+)= iL(0)=2A,0+等效电路：,解：,注意：,求初始值的一般方法：,(1) 由换路前电路求uc(0)和iL(0)；,(2) 由换路定则，得uC(0+)和iL(0+)；,(3) 作0+等效电路：,(4) 由0+电路求所需的u(0+)、i(0+)。,
6、电容用电压为uC(0+)的电压源替代；,电感用电流为iL(0+)的电流源替代。,例3.,(1) 求iL(0),(2) 由换路定则，得,解：,(3) 0+电路,例4.,0+电路：,iL(0+)=iL(0)=IS,uC(0+)=uC(0)=RIS,uL(0+)= uC(0+)= RIS,iC(0+)=iL(0+) uC(0+)/R =RISRIS =0,求 iC(0+) , uL(0+).,解：,6-4 一阶电路的零输入响应,零输入响应(Zeroinput response )：激励(电源)为零，由初始储能引起的响应。,一、 RC电路的零输入响应 (C对R放电),uC (0)=U0,解答形式 uC
7、(t)=uC“=Aept (特解 uC=0),特征方程 RCp+1=0,起始值 uC (0+)=uC(0)=U0, A=U0,令 =RC, 具有时间的量纲 , 称 为时间常数.,(欧法=欧库/伏=欧安秒/伏=秒),从理论上讲 t 时,电路才能达到稳态. 单实际上一般认为经过3 5 的时间, 过渡过程结束,电路已达到新的稳态.,C的能量不断释放, 被R吸收, 直到全部储能消耗完毕.,(实验测 的方法),能量关系：,二、RL电路的零输入响应,其解答形式为： i(t) = Aept,由特征方程 Lp+R=0 得,由初值 i(0+)=i(0)= I0,得 i(0+)=A= I0,(1) iL, uL
8、以同一指数规律衰减到零； (2)衰减快慢取决于L/R。,量纲：亨/欧=韦/安*欧=韦/伏=伏*秒/伏=秒,令 =L/R RL电路的时间常数,3 5 过渡过程结束。,iL (0+)=iL(0)=35/0.2=175 A= I0,uV (0+)= 875 kV !,例.,现象：电压表烧坏 !,小结：,1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 都是一个指数衰减函数。 2. 衰减快慢取决于时间常数 . RC电路 ： = RC, RL电路： = L/R 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4. 一阶电路的零输入响应和初值成正比。,预防措施：,零状态响应(Zerostate res
9、ponse)：储能元件初始能量为零，在激励(电源)作用下产生的过渡过程。,(2) 求特解 uC= US,1. RC电路的零状态响应,(1) 列方程：,uC (0)=0,65 一阶电路的零状态响应,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,通解,特解,强制分量 (稳态分量),uC (0+)=A+US= 0, A= US,(3) 求齐次方程通解 uC“ 自由分量(暂态分量),(4) 求全解,(5) 定常数,US, US,uC,uC“,强制分量(稳态),自由分量(暂态),能量关系：,电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，,一部分储存在电容中，且WC=WR,充电效率为50%,t= 0时闭合开关S.,求uc、i1
10、的零状态响应。,u,iC,例.,解法1:,解法2:,戴维南等效.,2. RL电路的零状态响应,iL(0)=0,3. 正弦电源激励下的零状态响应(以RL电路为例),iL(0)=0,强制分量(稳态),自由分量(暂态),用相量法计算稳态解 iL :,iL(0)=0,定常数,解答为,讨论：,(1) u =0o, 即合闸 时u =,合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。,(2) u = /2 即 u = /2,A=0 无暂态分量,u = +/2时波形为：,最大电流出现在合闸后半个周期时 t = T/2。,4. 阶跃响应,uC (0)=0,uC (0)=0,延时阶跃响应:,激励在t=t0时加入， 则响
11、应从t=t0开始。,uC (t0 )=0,注意：,零状态网络的阶跃响应为 y(t)(t) 时， 则延时t0的阶跃响应为 y(t-t0) (t-t0).,结论：,二者的区别 !,例.,求阶跃响应iC .,解:,等效,分段表示为：,分段表示为,另解：,小结：,1. 一阶电路的零状态响应是储量元件无初始储量时，由输入激励引起的响应。解答有二个分量:,uC =uC+uC“,2. 时间常数与激励源无关。,3. 线性一阶网络的零状态响应与激励成正比。,4. 零状态网络的阶跃响应为 y(t) (t) 时，则延时t0的阶跃响应为 y(t-t0) (t-t0)。,66 一阶电路的全响应,全响应：非零初始状态的电
12、路受到激励时电路中产生的响应。,一、一阶电路的全响应及其两种分解方式,1. 全解 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),uC= US,以RC电路为例,解答为 uC(t)=uC + uC“,非齐次方程,uC“=Aept, =RC,uC (0+)=A+US=U0, A=U0 US,(t0),强制分量,自由分量,uC (0)=U0,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),2. 全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,=,+,uC 1(0-)=0,uC2 (0-)=U0,uC (0)=U0,全响应小结:,1. 全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质;,2. 零
13、输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；,3. 零输入响应与零状态响应均满足齐性原理，但全响应不满足。,二、用三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学描述是一阶微分方程 , 其解的一般形式为,令 t = 0+,例1.,已知： t=0时合开关S。 求 换路后的uC(t) 。,解,例2.,已知：电感无初始储能 t = 0 时合 S1 , t =0.2s时合S2。,0 t 0.2s,t 0.2s,解,求换路后的电感电流i(t)。,例3.,已知: u(t)如图示 , iL(0)= 0 。 求: iL(t) , 并画波形 .,解,0 t 1 iL(0+)=0,t 0 iL(t)=0
14、,iL()=1A,iL(t) = 1et / 6 A, =5/ (1/5)=6 s,方法一：用分段函数表示,1 t 2 iL(1+)= iL(1-)= 1e1/ 6 =0.154 A,iL( )=0,iL(t) = 2 +0.1542 e ( t 1 )/ 6 = 21.846 e ( t 1 )/ 6 A,t 2 iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A,iL()=2A,iL(t) = 0.437 e ( t 2 )/ 6 A, =6 s, =6 s,u(t)= (t)+ (t1)2 (t2),iL(t) = (1 e t / 6
15、) (t)+ (1e( t1) / 6 ) (t1)2(1e( t 2) / 6 ) (t2) A,解法二：用全时间域函数表示(叠加),6-7 一阶电路的冲激响应,单位冲激响应：电路在单位冲激激励作用下产生的零状态响应。 (Unit impulse response),一. 由单位阶跃响应求单位冲激响应,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激函数, (t),单位阶跃函数, (t),证明：,(1) s(t)定义在( ，)整个时间轴。,注意：,(2) 阶跃响应s(t)可由冲激响应(t)积分得到。,(1) 先求单位阶跃响应：,例1.,uC(0+)=0,uC()=R, = RC,求： is(t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t),iC(0+)=1,iC()=0,(2) 再求单位冲激响应：,已知：uC(0+)=0。,令 iS (t)= (t)A,解,冲激响应,阶跃响应,uC 不可能是冲激函数 , 否则KCL不成立,二、直接求冲激响应,uC(0-)=0,1. t 从 0 0+,电容中的冲激电流使电容电压发生跳变,(转移电荷),分二个时间段来考虑
