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1、复利和年金的计算推导,超级详细版,作者寄语,在你开始阅读这个PPT之前，我有些话要先对读者你讲一讲，关于资金时间价值的复利和年金的计算和推导，涉及的数学知识其实很简单，只是由于数据庞大，因此让很多人望而却步，因此一定要耐下性子进行计算，这个幻灯片应该说是财务基础接近零的人都可以看会的，关键是要静下心，一个字一个字的读完，这样才能把这一部分知识彻底领悟到，祝你们成功！,字母的含义,i报酬率或利率 n期数 A每期投入或支付的相同金额，在普通年金中也叫偿债基金 FFuture终 PPresent现 VValue值 I系数,一、复利的计算,1、复利的终值 2、复利的现值,1、复利的终值,复利的终值：就
2、是一些钱过n期之后利滚利的最后所得总额。,1、复利的终值总结,计算公式：FVn=PVn(1+i)n,注：(1+i)n就是传说中的复利终值系数：FVIFi,n=(1+i)n,因此，复利终值计算公式又可以写成FVn=PVn FVIFi ,n,2、复利的现值,复利的现值：就是利滚利过n期后能拿到的一些钱在现在值多少钱。,2、复利的现值总结,计算公式：PVn=FVn,就是传说中的复利现值系数：PVIFi,n=,因此，复利现值计算公式又可以写成PVn=FVn PVIFi ,n,注：,二、年金的计算,1、普通年金 2、即付年金 3、递延年金 4、永续年金,1、普通年金,普通年金：又叫后付年金，是指各期期末
3、收付的年金。,A,A,A,A,A,A,A,A,A,总共n期,（1）普通年金终值,说白了，就是计算每次投入的A在第n期期末（也就是线段最右端点）的终值总和。,推导： FVAi,n=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1,=A,(1+i)t-1,到这一步如果你看得懂，你很聪明！,（1）普通年金终值,刚才的结论是下面这个公式,计算公式：FVAi,n=,A,(1+i)t-1,就是传说中的年金终值系数：FVIFAi,n=,注：,(1+i)t-1,(1+i)t-1,因此，年金终值计算公式又可以写成,FVAi,n=A FVIFAi,n,（1）普通年金终值,看到这里，是不是有点晕头转向了呢？,将
4、计算公式：FVAi,n=,A,(1+i)t-1,变形，,等号两端同时乘以(1+i)，得到下式：,FVAi,n(1+i)=,A,(1+i)t,等比数列求和啊！,=A,1-(1+i),1-(1+i)n,=A,i,(1+i)n+1 -1,(1+i),(1+i),（1）普通年金终值,这样，只要在等号两端再同时除以(1+i)，就又诞生了一个变形后的公式,计算公式：FVAi,n,=A,i,(1+i)n+1 -1,这样，年金终值系数就变成了：FVIFAi,n=,i,(1+i)n+1 -1,最后敲定普通年金终值计算公式为FVAi,n,=A,i,(1+i)n+1 -1,（1）普通年金终值总结,我们对普通年金终值
5、的计算公式进行如下总结,FVAi,n,=A,(1+i)t-1,=A FVIFAi,n,=A,i,(1+i)n+1 -1,（2）普通年金现值,说白了，就是计算让每次投入的A退回到第一期期初（也就是线段最左端点）的现值总和。,推导：PVAi,n=A,+,A,+,A,+ +,A,=A,（2）普通年金现值,刚才的结论是下面这个公式,PVAi,n=A,注：,就是传说中的年金现值系数：PVIFAi,n=,因此，年金现值计算公式又可以写成,PVAi,n=A PVIFAi,n,（2）普通年金现值,PVAi,n=A,=A,1-,1-,=A,i,1-,我们将继续利用等比数列求和公式分解,（2）普通年金现值,这样，
6、又诞生了一个变形后的公式,计算公式：PVAi,n,=A,i,1-,这样，年金现值系数就变成了：PVIFAi,n=,i,1-,最后敲定普通年金现值计算公式为PVAi,n,=A,i,1-,(1+i)n,1,（1）普通年金现值总结,我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结,PVAi,n,=A,=A PVIFAi,n,=A,i,1-,2、即付年金,即付年金：又叫先付年金，或预付年金，是指各期期初预付的年金。,A,A,A,A,A,A,A,A,A,总共n期,（1）即付年金终值,说白了，就是计算每次投入的A在第n期期末（也就是线段最右端点）的终值总和。,推导： XFVAi,n=A(1+i)+A(1+i)2+
7、A(1+i)n,=A,(1+i)t,还记得普通年金的终值吗？它仅仅是指数变成了t-1,（1）即付年金终值,刚才的结论是下面这个公式,计算公式：XFVAi,n,=A,(1+i)t,我们先不要急着求和，看看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。,A,(1+i)t,和,A,(1+i)t-1,之间的转化,即,（1）即付年金终值,暂时把A抛在一边，看这两个求和,(1+i)t,(1+i)t-1,=,(1+i)+(1+i)2+(1+i)n,=,1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1,很明显,(1+i)t,=,(1+i)t-1 (1+i),（1）即付年金终值,所以，,XFVAi,n = FVAi,n
8、(1+i),这一步告诉我们，即付年金终值是普通年金终值的(1+i)倍，在财务上可以理解为多计算了一期的终值，因此，在计算即付年金终值时，通常是转化为普通年金终值，并查阅年金终值系数表而确定的，而年金终值系数表本身就是普通年金的终值系数，因此这里的公式就显得尤为重要。,（1）即付年金终值,现在我们来对即付年金终值进行等比数列求和。,XFVAi,n,=A,(1+i)t,=A,1-(1+i),1-(1+i)n,(1+i),=A,i,(1+i)n+1-(1+i),=A,i,(1+i)n+1-1,-A,=A,i,(1+i)n+1-1,-1,（1）即付年金终值,不知道大家是否清楚我为什么要把A后面的部分整
9、个括起来，聪明的人应该明白，要把它看成系数，恩，很好。,i,(1+i)n+1-1,是什么？再次回想普通年金终值，看出来没？,是的，我知道你看出来了！中括号里的内容就是,n+1期的普通年金终值系数FVIFAi,n+1,（1）即付年金终值,我们再次把公式写出来看看,XFVAi,n = FVAi,n+1-A,可以再次从财务角度来解释一下这个公式，其实，n期即付年金的终值就是n+1期普通年金的终值去掉一期的偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金终值也有系数，那么即付年金终值系数比普通年金终值系数的期数多1期，但是系数值少1。,（1）即付年金终值总结,最后，我们把即付年金终值的所有公式进行总结,XFVA
10、i,n,=A,(1+i)t,=A,i,(1+i)n+1-1,-A,= FVAi,n (1+i),= FVAi,n+1-A,（2）即付年金现值,说白了，就是计算每次投入的A退回到第一期期初（也就是线段最左端点）的现值总和。,推导：XPVAi,n=A+A,1+i,1,+A,(1+i)2,1,+ A,(1+i)n-1,1,=A,(1+i)t-1,1,还记得普通年金的现值吗？同样仅仅是指数变成了t-1,（2）即付年金现值,刚才的结论是下面这个公式,计算公式：XPVAi,n,我们先不要急着求和，和计算终值的时候一样，看看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。,A,和,A,之间吧！,即,=A,（2）即付年
11、金现值,暂时把A抛在一边，看这两个求和,=,=,(1+i),1,(1+i)2,1,+,+,(1+i)n,1,(1+i),1,(1+i)2,1,+,+,(1+i)n-1,1,很明显,=,(1+i),（2）即付年金现值,所以，,XPVAi,n = PVAi,n (1+i),这一步同样告诉我们，即付年金现值是普通年金现值的(1+i)倍，在财务上可以理解为少计算了一期的现值，因此，在计算即付年金现值时，通常是转化为普通年金现值，并查阅年金现值系数表而确定的，而年金现值系数表本身就是普通年金的现值系数，因此这里的公式就显得尤为重要。,现在我们来对即付年金现值进行等比数列求和。,（2）即付年金现值,XPV
12、Ai,n,=A,=A,1-,(1+i),1,1-,(1+i)n,1,1= A,i,分子分母同乘(1+i),1-,(1+i)n-1,1,+A,（2）即付年金现值,如果把A提到外面来，另一边将变成什么？,XPVAi,n,= A,i,1-,(1+i)n-1,1,+1,回忆一下普通年金现值系数，可知，中括号里就可以变成PVIFAi,n-1+1了。,（2）即付年金现值,我们再次把公式写出来看看,XPVAi,n=,PVIFAi,n-1+A,仍然可以再从财务角度来解释一下这个公式，n期即付年金的现值就是n-1期普通年金的现值增加一期的偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金也有现值系数，那么即付年金的现值系数
13、比普通年金系数的期数少1期，但是系数值多1。,（2）即付年金现值,最后，我们把即付年金现值的所有公式进行总结,XPVAi,n,=A,= A,i,1-,(1+i)n-1,1,+A,= PVAi,n (1+i),=PVIFAi,n-1+A,3、递延年金,递延年金：又叫延期年金，是指前面m期不付，后面n期每期期末交付，直到最后一期期末的年金。,A,A,A,A,A,A,支付n期,m期,（1）递延年金终值,由于后面n期按照普通年金的方式完成支付，那么递延年金的终值实际上就是n期普通年金的终值。,Pn,=A,(1+i)t-1,=A FVIFAi,n,=A,i,(1+i)n+1 -1,这里，对于递延年金的终
14、值就不进行总结了。,（2）递延年金现值,首先我想说，递延年金现值有两种计算方法，不知道读者你有没有看出来？ 第一种，前面m期不看，可以直接计算出后面n期在它本身的期初（不是总共m+n期的期初哦！）的现值，就是上上页线段的前m期最后一个端点，同时也是后n期的最左边端点，然后将这个值看成前m期的终值，调整到前m期期初，即整个线段最左端点即可。 第二种，看成是m+n期的普通年金，计算出现值以后，减去前m期并未支付的那些现值，剩下的也是递延年金的现值。,（2）递延年金现值,第一种方法,P0,=A PVIFAi,n,=A,i,1-,P0= P0,(1+i)m,1,=A PVIFAi,nPVIFi,m,你
15、看到了什么？复利现值系数啊！,（2）递延年金现值,第二种方法,P0,=A PVIFAi,m+n,=A,i,1-,(1+i)m+n,1,P0= P0-Pm,=A PVIFAi,m+n-A PVIFAi,m,（2）递延年金现值,为了验证这两种方法是殊途同归，我们来算一算。,P0=A PVIFAi,nPVIFi,m,=A,i,1-,(1+i)m,1,=A,(1+i)m,1,-,(1+i)m+n,1,第 一 种 方 法,i,1,（2）递延年金现值,P0 =A PVIFAi,m+n-A PVIFAi,m,=A,i,1-,(1+i)m+n,1,- A,i,1-,=A,(1+i)m,1,-,(1+i)m+n,1,i,1,第 二 种 方 法,（2）递延年金现值总结,很明显，两种方法计算出的结果是一样的。,计算公式：,P0=A PVIFAi,nPVIFi,m,=A PVIFAi,m+n-A PVIFAi,m,提示：关键是注意下标的字母，这是区分的唯一途径。,4、永续年金,永续年金：是指每期期末都进行交付，没有最后一期期末，无休止的延续下去的年金。,
