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1、33 随机向量的函数的分布与数学期望,一、离散型随机向量的函数的分布,二、连续型随机向量的函数的分布,三、随机向量的函数的数学期望,四、数学期望的进一步性质,一、离散型随机向量的函数的分布,设(X Y)是二维离散型随机向量 g(x y)是一个二元函数 则g(X Y)作为(X Y)的函数是一个随机变量 如果(X Y)的概率分布为 PXxi Yyjpij i j12 记zk(k1 2 )为Zg(X Y)的所有可能取值 则Z的概率分布为,PZzkPg(X Y)zk,例312(1) 已知(X Y)的概率分布 求XY的概率分布,XY的可能取值有 1 0 1 2 3 4 的概率分布为,解,P1PXY1,P
2、X0 Y1,01,P0PXY0,PX0 Y0PX1 Y1,05,P1PXY1,02,PX1 Y0PX2 Y1,P2PXY2,PX0 Y2PX2 Y0,0,P3PXY3,PX1 Y2,01,P4PXY4,PX2 Y2,01,例312(2) 已知(X Y)的概率分布 求XY的概率分布,XY的可能取值有 2 1 0 4 的概率分布为,解,P2,PX2 Y1,015,P1,PX1 Y1,03,P0,PX0 Y1PX0 Y0PX0 Y2,PX1 Y0PX2 Y0,035,P2,PX1 Y2,01,P4,PX2 Y2,01,PkPXYk,例313 设X Y是两个相互独立的随机变量 分别服从参数为1和2的泊
3、松分布 求XY的分布,解,可见XY服从参数为12的泊松分布,二、连续型随机向量的函数的分布,设(X Y)是二维连续型随机向量 其概率密度函数为f(x y) 令g(x y)为一个二元函数 则Zg(X Y)的分布函数为,FZ(z)PZz,Pg(X Y)z,P(X Y)Dz,其中Dz(x y)|g(x y) z 继而 其密度函数fZ(z) 对几乎所有的 z 有,例314(随机变量的和) 设(X Y)的联合密度函数为f(x y) 求XY的密度函数,对任意z 令Dz(x y)| xyz 则,解,FZ(z)PZzPXYz,例314(随机变量的和) 设(X Y)的联合密度函数为f(x y) 求XY的密度函数
4、,对任意z 令Dz(x y)| xyz 则,解,FZ(z)PZzPXYz,于是 有,易见 交换积分次序 我们亦可得到,特别地 如果X与Y是相互独立的随机变量 则,独立正态随机变量之和的分布,则其任意非零线性组合仍服从正态分布 且,其中a b不全为0 这一结论还可以推广到n个随机变量的情形,三、随机向量的函数的数学期望,设随机向量(X Y)的函数Zg(X Y)的数学期望存在,(1)设(X Y)是二维离散型随机向量 其概率分布为 PXxi Yyjpij i j1 2 ,(2)设(X Y)是二维连续型随机向量 其密度函数为f(x y),解,例320 已知随机向量(X Y)的概率分布 求EXY,EXY
5、,解,0,2201,200,2(1)015,1201,10005,1(1)03,020,0002,0(1)01,例321 一商店经销某种商品 每周进货量X与顾客对该商品的需求量Y是相互独立的随机变量 且都服从区间10 20上的均匀分布 商店每售出一单位商品可得利润1000元 若需求量超过进货量 商店可从其他商店调剂供应 这时每单位商品获利润为500元 试计算此商品经销商经销该种商品每周所获平均利润,设Z表示商店每周所获利润 由题设有,解,由于(X Y)的密度函数为,设Z表示商店每周所获利润 由题设有,解,由于(X Y)的密度函数为,所以有,1416667(元),四、数学期望的进一步性质,性质1 对任意两个随机变量X Y 如果其数学期望均存在 则E(XY)存在 且 E(XY)EXEY (353),性质2 设X Y为任意两个相互独立的随机变量 数学期望均存在 则EXY存在 且 EXYEXEY (354),上述两个性质可以推广到n个变量情形,
