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1、无界空间平面电磁波的传播,第六章,6.1 理想介质中的均匀平面波 6.2 有耗介质和良导体中的平面波 6.3 波的极化,6.1 理想介质中的均匀平面波,一、赫姆霍兹方程的平面波解,在无源（JV=0，V=0）、均匀(和为常数)、无耗（ = 0）、线性各向同性介质中，时谐电磁场满足赫姆霍兹方程，即,（6-1）,（6-2）,（6-3）,（6-4）,把方程（6-1）写成分量的形式，有,（6-5）,（6-6）,三个分量方程的形式完全相同，因此只需求解一个即可。,下面采用分离变量法求解电场复振幅分量 满足的标量赫姆霍兹方程,的解。,令,（6-7）,代入分量方程第一式，得,上式各项彼此独立，于是有二阶齐次常
2、微分方程,式中 、 、 分别为任意常数，且,微分方程的通解,对于无界均匀介质，如果仅考虑沿+X、+Y和+Z方向传播 的波，令,于是,同理可得,代入,有,其中,记,式中k称之为波传播矢量，简称波矢量，而 为电场复振幅矢量的最大幅值。,平面波解,由（6-4）得到磁场的平面波解为,（6-24）,（6-25）,平面波解,是磁场的复振幅矢量。,二、理想介质中均匀平面电磁波的基本特性,式（6-24）和式（6-25）乘一时间因子ejt，然后取实部，得到时谐平面电磁波的瞬时余弦形式为,式中,（6-26）,（6-27）,（6-28）,其中e为初相位。,如果记波矢量的单位矢量为k0，波矢量可写成,则磁场矢量的余弦
3、形式为,（6-30）,理想介质中的平面电磁波具有如下特性：,（1）等相位面和相速度,为一常数。对于任意给定的时间t，该方程代表充满空间的一平面族。根据等位面的法向与梯度方向反向，即,可知平面的法向为k，这就是称k为波传播矢量的原因。,等相面方程两端对时间求导数，得到,称为相速度，其方向沿k0的方向。根据波动方程（5-127）可知，线性均匀各向同性介质中，平面电磁波相速度 就是电磁波传播速度 。,如果在真空中，相速度为,表明电磁波在真空中传播的速度等于光速c。,（2）平面电磁波的横波性,在无源的情况下，线性、均匀各向同性介质中，由于,有,E与k相互垂直，即平面电磁波是横电波，E可以在与k相垂直的
4、平面上任意取向。,由于,有,H与k相互垂直，即平面电磁波是横磁波。,由此得出结论，平面电磁波是横电磁波，简称TEM波，电场E、磁场H和波矢k三者相互垂直，并服从右手关系，如图6-1所示。,图6-1 平面电磁波,图6-1 平面电磁波,图6-1 平面电磁波,图6-1 平面电磁波,图6-1 平面电磁波,（3）波阻抗,介质的波阻抗（或称本征阻抗）定义为,具有阻抗的量纲。在真空中,有了波阻抗的概念后，式（6-30）可改写为,（6-41）,电磁波在线性、各向同性的均匀介质中传播，波阻抗为纯电阻性。这也说明，电场E和H是同相的。,例6.1 在空气中沿+Z方向传播的平面电磁波，其频率为1MHz，电场沿X方向。
5、如果电场的振幅为1.2(mV/m)，在t=0时刻，电场E的最大值出现在z =50m处，求E(z; t)和H(z; t)的表达式，并绘制在t=0时刻电场和磁场随z变化的图形。,解 当f =1MHz时，空气中的波长为,把t=0，z =50m代入上式，电场取最大值，解得,取0=120，得到,最后得到,在t=0时,三、平面电磁波的能量和能流密度,平面电磁波的能量密度为,可以看出，任一时刻电场能量密度与磁场能量密度相等，各为电磁场能量密度的一半。总电磁能量密度的时间平均值为,平面电磁波的瞬时坡印廷矢量为,复坡印廷矢量为,平均坡印廷矢量为,（6-46）,式（6-45）表明，与平面电磁波传播方向垂直的平面上
6、，每单位面积通过的平均功率相同，电磁波在传播过程中没有能量损耗，即沿传播方向电磁波无衰减。因此，理想介质中的均匀平面电磁波是等幅波。,均匀平面电磁波的能量传播速度为,在无界理想介质中，均匀平面电磁波的能量传播速度等于相速度。,例 6.2 一均匀平面电磁波的电场瞬时表达式为,在无耗聚丙烯（r=1, r=2.25）中传播，试求：（1）波的频率f；（2）波数k；（3）磁场强度的瞬时表达式H(z; t)；（4）平均坡印廷矢量Sav。,解 由给定的电场强度的瞬时表达式知，角频率为,波的传播频率为,(1),波数,(2),波阻抗,磁场的瞬时表达式,(3),电场强度和磁场强度的复振幅矢量分别为,平均坡印廷矢量
7、,(4),6.2 有耗介质和良导体中的平面电磁波,一、有耗介质中的平面电磁波,一般情况下，介质的电导率非零，并假设介质的介电常数为，磁导率为。无源线性、各向同性的均匀介质中时谐场电磁场传播所满足的波动方程为,（6-48）,（6-49）,（6-50）,复波数,有耗介质中的波动方程与理想介质中的波动方程形式相同，其解的形式也相同，有,（6-51）,（6-52）,（6-53）,为复波数矢量，且满足关系,令,如果假设,（6-56）,等相位面与等振幅面重合，则有,（6-57）,（6-58）,（6-59）,有耗介质中的平面电磁波,复波阻抗,衰减常数,相位常数,又,有耗介质中均匀平面波的瞬时表达式,（6-6
8、3）,（6-64）,复波阻抗,如果复矢量中的和不同向，平面波的等相位面和等振幅面不重合，则属非均匀平面波，可以证明，有耗介质中的非均匀平面波的等相位面与等振幅面有一小于900的夹角，如图6-3所示。,（6-65）,图6-3 有耗介质中的非均匀平面波,为简单起见，下面以波沿+Z方向传播为例，对有耗介质中均匀平面波的传播特点进行讨论。,（1）设波沿+Z方向传播，即k0=ez，并假设电场矢量沿X方向，即E0=E0ex，则式（6-63）和式（6-64）表为,显然，有耗介质中的均匀平面波是衰减的平面波，电场强度和磁场强度的振幅以因子e-z随z的增大而不断衰减，是反映每单位长度衰减的常数，单位为米-1（m
9、-1）。这种衰减是电磁波在传播过程中能量转换为热能的结果，即为热损耗。另外，由式（6-66）和式（6-67）也可以看出，在有耗介质中电磁波的磁场强度矢量滞后电场强度矢量角，因此，与理想介质中的平面波不同，这里电场强度矢量和磁场强度矢量不同相。但是，电磁波的传播方向与电场强度矢量、磁场强度矢量都垂直，三者成右旋关系，这个性质与理想介质中的均匀平面波电磁波的情况相同，即有耗介质中的均匀平面电磁波是横波，如图6-4所示。,（6-66）,（6-67）,图6-4 有耗介质中的均匀平面电磁波,（2）由式（6-50）和式（6-56），可得,利用实部和虚部分别相等，解得,有耗介质中的相速度由等相位面方程,（6
10、-69）,（6-70）,得到,波长,在有耗介质中，平面电磁波的相速度比理想介质中的相速度慢，且电导率越大，相速度越慢，波长越短。其次，相速度与频率有关，频率低相速度慢，因此不同频率的电磁波将以不同的相速度传播，这种现象称之为色散。有耗介质是色散介质。当电磁信号在有耗介质中传播时，会造成信号失真就是这个原因。,（3）由式（6-65）和式（6-59）得到有耗介质中的波阻抗为,有,有耗介质中的复波阻抗其模小于理想介质中的波阻抗，幅角在0/4之间变化，表明有耗介质中电场和磁场虽然在空间上仍然相互垂直，但在时间上有相位差，磁场强度的相位滞后于电场强度的相位，电导率越大，滞后越多。,为什么？ 阻抗小速度慢
11、,（4）有耗介质中的复坡印廷矢量为,平均功率流密度为,（5）有耗介质中平均电磁能量密度为,能量传播速度,在有耗介质中，均匀平面电磁波的能量传播速度与相速度相同。,例6.3 一均匀平面电磁波垂直入射到海平面上，海水的物质参数为r=80，r=1，=4S/m。入射到海平面上磁场强度矢量的瞬时值为,水下200m深处有一潜艇利用线天线接收1kHz的信号，试写出电场强度和磁场强度的瞬时表达式，并确定入射到潜艇天线处的功率密度。,解 选择直角坐标系，海平面为XY平面，Z轴向下。磁场沿ey方向，传播方向为+ez，则电场沿ex方向。由式（6-66）和式（6-67），可写出电场强度和磁场强度的复振幅表达式为,e和
12、分别是初相位和复波阻抗的幅角。,根据给定海平面上磁场强度的表达式知=2103(rad/s)，则f=1kHz。由于,得到,复波阻抗,瞬时电场强度和磁场强度的表达式,与在海平面上给定磁场强度的表达式,相比较，得到,最后得到电场强度和磁场强度的瞬时表达式,平均功率流密度,当z=200m时，电磁波的平均功率流密度为,由此可知，电磁波在海水中传播时衰减很快，尤其在高频时，衰减更为严重，这给潜艇之间的通信带来了很大的困难。若为保持低衰减，工作频率必须很低，但即使在 1 kHz 的低频下，衰减仍然很明显。,二、良导体中的平面波,1趋肤深度,导电介质中的总电流包括传导电流和位移电流，当介质的电导率很高，或者电
13、磁波的频率很低，满足条件,可把导电介质看作良导体，有,可以看出，当高频电磁波传入良导体后，由于良导体的电导率很高，一般为107S/m的量级，衰减常数比较大，电磁波的电场振幅和磁场振幅在良导体中衰减很快。因此，高频电磁波仅存在于良导体的表面，这种现象称之为趋肤效应。为了表征良导体中趋肤效应的程度，定义电磁波场强振幅衰减到表面振幅的1/e的深度为趋肤深度（或穿透深度），以表示，得到,可见，导电性能愈好，工作频率越高，趋肤深度越小。,比如银的电导率为=6.15107S/m，磁导率0=410-7H/m，则趋肤深度为,当频率f=3GHz时，趋肤深度=1.17m。由此可见，良导体的趋肤深度很小，电磁波能量
14、主要集中在良导体表面的薄层内，因此很薄的金属片对无线电波有很好的屏蔽作用。,2表面电阻和表面阻抗,假设平面电磁波垂直入射到良导体表面，如图6-5所示。在良导体中，平面波的电磁场复振幅矢量为,图6-5 垂直于导体表面 传播的平面波,根据欧姆定律J=E，可知电流沿X方向流动，其密度为,式中,为导体表面（z =0）处的电流密度幅值。,复坡印廷矢量为,平均坡印廷矢量,如果取z=0，得到导体表面每单位面积所吸收的平均功率为,单位面积导体内传导电流的热损耗功率,由此可见，导体表面每单位面积吸收的平均功率传入导体后，全部化为导体内的热损耗功率。,导体表面处的电场切向分量与磁场切向分量之比定义为导体表面阻抗（
15、良导体的本征阻抗）,该式表明导体的表面阻抗等于波阻抗。RS和XS分别称之为表面电阻和表面阻抗，并有,表明，表面电阻相当于单位长度、单位宽度而厚度为趋肤深度的导体块的直流电阻。,3表面电流,对于在Y方向宽度为y、Z方向从0延伸到无穷，导体中流过的电流,该式的分子等效于一个均匀的电流密度J0，电流在表面宽度为y、厚度为的薄层中流过。,在时变的情况下，由于存在趋肤效应，电流通过导线在横截面内的分布与直流电流完全不同，如图6-6所示。当直流电压加到导线两端时，流经导线的电流将在导线的横截面上形成均匀的电流密度，而交变电流通过导线，电流密度在导线横截面的外圆周上最大，在导线的轴线上电流最小，从导线表面到轴线电流按指数规律减小。实际上，在高频的情况下，电流仅存在于导线横截面外围的一个薄层内。如果是理想导体，电流仅存在于导线的表面。,6.3 波的极化,均匀平面电磁波极化的概念用于描述在空间给定点处，垂直于波传播方向的平面上电场强度矢量E随时间变化的轨迹和形状。最一般的情况E的轨迹是椭圆，相应的电磁波称为椭圆极化波。如果电场强度矢量E的轨迹为圆或直线，则极化状态分别称为圆极化或线极化。,对于在线性、各向同性的均匀无耗介质中，沿任意方向k0传播的均匀平面波，其电场与磁场之间的关系为,对于有耗介质此关系也成立，仅需要
