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1、河南省郑州市第一中学2018届高三上学期诊断试题数学（文科）本试卷共23小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效.第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D.
2、 【答案】C【解析】，则，所以，由于，因此，故选择C.2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、午、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是干支纪年法中的丙申年，那么2017年是干支纪年法中的（ ）A. 丁酉年 B. 戊未年 C. 乙未年 D. 丁未年【答案】A【解析】按照天干、地支匹配顺序，若2016年为丙申年，则2017年为丁酉年，故选择A.3.点在直线上，则直线的倾斜角为（ ）A. B.
3、C. D. 【答案】C【解析】【分析】点在直线l：axy+1=0上，a=，即直线的斜率为可得直线的倾斜角【详解】点在直线l：axy+1=0上，a=，即直线的斜率为，直线l的倾斜角为60故选：C【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查学生的计算能力，比较基础4.定义函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题中定义的函数可知 ，则该函数图像如下图由上图可知函数的最小值为，故选择C.5.已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（ ）A. 335 B. 336 C. 337 D. 338【答案】A【解析】由可知数列为等差数列
4、，通项公式，又因为，由题意可知，通项公式，所以即，解得，所以的最大整数值为335，故选择A.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为.考点：三视图.7.如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点、，则抛物线的焦点是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别作出准线方程，根据抛物线的定义，即可判断焦点的位置【详解】如图可知：分别做P，Q，R，S关于y轴的对称点，分别过对称点做x轴的垂线，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离相等，分别判断，可
5、知Q为抛物线的焦点，故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于基础题8.点在圆上运动，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当时，显然；当时，设，则问题转化为求的取值范围，将看作圆上动点与原点连线的斜率，如下图， 或，则或，所以或综上所述：.9.已知、为单位圆上不重合的两定点，为此单位圆上的动点，若点满足，则点的轨迹为（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆【答案】D【解析】设，设单位圆圆心为，则根据可有：，所以点为的重心，根据重心坐标公式有 ，整理得，所以点的轨迹为圆，故选择D.点睛：求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和
6、重点.主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查.求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等.本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程.10.点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，根据圆的切线可知：，又根据双曲线定义 ，即，所以，即，又因为，所以，所以点为右顶点，即圆心，考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时方程为
7、，此时圆心到直线的距离为，解得，因此内切圆半径，所以选择A.11.如图，将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后、四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将折叠后的三棱锥置于正三棱柱中，如下图所示，是边长为1的正三角形，外接球球心为，在中，所以，则球的表面积为，故选择B. 点睛：解决关于外接球的问题关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用.对于特殊类型的问题，我们可以将其还原为规则的几何题，如正方体、正四棱柱、长方体、正三棱柱等等，还原后球心的位置比较明显，很容易建立方程，从而求出外接球的半径，计算得到球的
8、体积、表面积.12.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（ ）函数是周期函数；函数既有最大值又有最小值；函数的定义域为，且其图象有对称轴；对于任意的，（是函数的导函数）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数定义域为，当或时，又，时，且均为变号零点.又因为函数满足，所以函数关于直线对称，函数图像如下图，故正确.点睛：本题考查函数的综合知识：函数对于定义域内任意实数，存在非零常数，满足，则函数为周期函数；函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；在函数定义域内，存在常数使得，则叫做函数的零点.第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考
9、题两部分第1321题为必考题，每个考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我国古代“伏羲八卦图”的部分与二进制和十进制的互化关系如下表，依据表中规律，、处应分别填写_.八卦二进制000001010011十进制0123【答案】110，6【解析】【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数该数位的权重，即可得到结果【详解】由八卦图，可得A处是110，110（2）=0+12+122=2+4=6故答案为110，6【点睛】二进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数该数位的权重，属于基础题14.已知，将其绕原点
10、逆时针旋转后又伸长到原来的2倍得向量，则_.【答案】【解析】设向量逆时针旋转后得到的向量为，根据题意有，解得 ，所以，又，所以15.点是正方体的体对角线上靠近点的四等分点，在正方体随机取一点，则点满足的概率为_.【答案】【解析】设正方体棱长为4，以为原点建立空间直角坐标系，则，则，设，根据条件，即，整理得：，所以点的轨迹是以为球心，为半径的球的体积的，体积为，所以根据几何概型，所求概率为.点睛：应用几何概型求概率问题的时，首先要建立相应的几何模型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量.（1）一般地，一个连续变量可以建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即
11、可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.16.设表示不超过实数的最大整数，例如，则点集所覆盖的面积为_.【答案】12【解析】由于且均为整数，当或时围成的是4个面积为1小正方形，当或时围成的是8个面积为1的小正方形，所以面积为12.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（）求的单调递增区间；（）在锐角中
12、，内角、所对的边分别是、，且，求的最大面积.【答案】（）；（）【解析】试题分析：（1）本问考查三角恒等变换公式，首先根据两角和正弦展开，然后根据二倍角公式化为正弦型函数，然后可以求出递增区间；（2）本问考查正、余弦定理及重要不等式的应用，首先根据求出，根据余弦定理，即，根据重要不等式可以得到，于是可以求出的最大值，即可以求出面积的最大值.试题解析：（1），令，得.的单调递增区间为.（2）由，得，又，.，当且仅当时取“=”.考点：1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数性质；3.余弦定理；4.三角形面积公式.18.如图，已知三棱锥中，为的中点，为的中点，且为正三角形.（1）求证：平面；（2）求证：平
13、面平面【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本问考查线面平行判定定理，根据题中条件，易得，在分别强调面外、面内这两个条件，即可以证明线面平行；（2）本问主要考查证明面面平行，根据面面平行判定定理，应先证明线面垂直，根据题中条件，应设法证明，根据题中条件分析可证出 平面，所以得到，于是根据线面垂直判定定理可得平面，于是平面平面.试题解析：（1）分别为的中点，又平面平面，平面.（2）为的中点，为正三角形，.由（1）知，.又，且，平面.平面，.又，且，平面.而平面，平面平面.考点：1.线面平行；2.面面垂直.19.根据环境保护部环境空气质量指数（AQI）技术规定，空气质量指数（AQ
14、I）在201300之间为重度污染；在301500之间为严重污染.依据空气质量预报，同时综合考虑空气污染程度和持续时间，将空气重污染分为4个预警级别，由轻到重依次为预警四级、预警三级、预警二级、预警一级，分别用蓝、黄、橙、红颜色标示，预警一级（红色）为最高级别（一）预警四级（蓝色）：预测未来1天出现重度污染；（二）预警三级（黄色）：预测未来1天出现严重污染或持续3天出现重度污染；（三）预警二级（橙色）：预测未来持续3天交替出现重度污染或严重污染；（四）预警一级（红色）：预测未来持续3天出现严重污染某城市空气质量监测部门对近300天空气中PM2.5浓度进行统计，得出这300天中PM2.5浓度的频率分布直方图如图.将PM2.5浓度落入各组的频率视为概率，并假设每天的PM2.5浓度相互独立.（）求
