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1、1,通信系统的计算机模拟,第九讲,2,随机信号的产生与处理,信道噪声、干扰和衰落等随机 波形级精确地仿真这些系统，随机影响建立准确的模型 其基本构建模块是随机数发生器。如何产生采样后的随机波形（信号、干扰和噪声等），以用于仿真。在仿真环境下，所有的随机过程必须用随机变量序列来表示。 随机数发生器产生的是“伪随机序列”，因为尽管它们是确定的，但在具体应用中会呈现随机性。 精度随应用不同：产生一个波形来表示锁相环鉴相器输入端的噪声，对一个输入SNR为50dB的系统建立噪声波形模型所要求的精度要比输入端SNR为8dB的系统高得多。,3,问题,在（0，1）上产生均匀分布且不相关的随机数 将不相关且均匀
2、分布的随机数映射成不相关的，具有任意（需要的）概率密度函数（pdf）的随机 产生不相关的、具有高斯型pdf的随机数 产生相关的、具有高斯型pdf的随机数 产生相关的、具有任意（需要的）pdf的随机数 伪噪声（PN）序列的产生以及几种应用于随机数序列的计算方法。,4,平稳与遍历性过程,信号、噪声和干扰而产生的样本函数通常假设为各态历经的。 原因：依次处理系统中波形的时域样本，系统中的每个点上只有一个波形（样本函数）。 假设仿真所处理的波形是其内在统计模型定义的总体（Emsemble）中的一个典型成员，这时各种统量如各阶矩、信噪比和误比特率，就可以当作时间平均来计算。仿真计算得到的时间平均等于总体
3、均值。隐含的假设条件是对应的随机过程为遍历性的。,5,例7-1 假设随机过程的样本函数表达式为,是对应随机试验的样本空间中的一个输出，每一个映射为一个相位。 再假定对应的随机试验就是从均匀随机数发生器输出端抽取一个数，抽取得到的结果 ，这里ui 在（0，1）区间上均匀分布。然后映射成相位 。当幅度A和频率f固定， 的值便决定了波形。 K-,6,f = 1; % frequency of sinusoid fs = 100; % sampling frequency t = (0:200)/fs; % time vector for i=1:20 x(:,i) = cos(2*pi*f*t+ra
4、nd(1)*2*pi); y(:,i) = cos(2*pi*f*t+rand(1)*pi/2); z(:,i) = (1+rand(1)*cos(2*pi*f*t); end subplot(3,1,1); plot(t,x,k); ylabel(x(t) subplot(3,1,2); plot(t,y,k); ylabel(y(t) subplot(3,1,3); plot(t,z,k); ylabel(z(t),7,8,由x(t)、y(t)和z(t)组成的所有样本函数的时间平均都等于零。 大量满足0ti2的，计算出来的的总体均值近似0； Y(t） 0.875 1.875 0.375 1
5、.375 0.125 0.625 1.125 1.625 -周期平稳 Z（t）,9,例7-2 在后面的工作中，我们经常要用到数字调制器的模型。这些调制器的基本构建模块是函数random-binary，它产生电平值为+1或-1的二进制波形，产生的比特数以及每比特的采样数是该函数的参数。,10,function x, bits = random_binary(nbits,nsamples) % This function genrates a random binary waveform of length nbits % sampled at a rate of nsamples/bit. x
6、= zeros(1,nbits*nsamples); bits = round(rand(1,nbits); for m=1:nbits for n=1:nsamples index = (m-1)*nsamples + n; x(1,index) = (-1)bits(m); end end,11,函数random-binary的应用,函数random-binary可以仿真多个数字调制器，例如，可用如下MATLAB语句仿真一个QPSK调制器： x=random_binary(nbits, nsamples)+i*random_binary (nbits, nsaples);,12,产生一个长
7、10比特的QPSK信号，采样频率为每比特8个采样点,nbits = 10; nsamples = 8; x = random_binary(nbits,nsamples)+i*random_binary(nbits,nsamples); xd = real(x); xq = imag(x); subplot(2,1,1) stem(xd,.); grid; axis(0 80 -1.5 1.5); xlabel(Sample Index); ylabel(xd) subplot(2,1,2) stem(xq,.); grid; axis(0 80 -1.5 1.5); xlabel(Sampl
8、e Index); ylabel(xq),13,14,均匀随机数发生器,具有均匀概率密度函数的随机变量很容易转换成具有其他所需pdf的随机变量，因此，要产生一个具有特定pdf的随机变量，首先产生一个在（0，1）区间均匀分布的随机变量。通常，先产生一个列介于0和M之间的数（整数），然后将序列中每个元素除以M。实现随机数发生器最常用的方法是线性同余。（linear congruence）。,15,线性同余,线性同余发生器定义为如下运算 a和c分别称作乘子和增量，m叫做模数。 这是一个确定性的序列算法，能依次产生连续的值。 初始值记为x0，称作线性同余发生器的种子数（seed nuber） 如果a、
9、c、m和都是整数，则LCG产生的所有数也都是整数。由于对进行运算，式（7-3）至多可产生m个不同的整数。发生器输出的一个理想特征是它应具备很长的周期，从而在序列重复前，输出序列能产生最多数目的整数。 对于给定值，当周期最大时，我们称发生器是全周期（full period）的。 此外，具体仿真程序的应用对LCG会提出其他的要求， 我们通常要求样本和互不相关。 可能还要求LCG的输出能通过其他统计测试。 LCG可以采用多种不同的形式,16,方法A：混合同余算法,最通用的同余算法就是c0的“混合”同余算法。之所以称之为混合算法，是因为在求解的过程中要同时用到乘法与加法。混合线性算法具有式（7-4）的
10、形式,c 0时，发生器的最大周期为m。当且仅当满足以下特性时才能达到这个周期： *增量c与m互质。换句话说，与没有素公因子（prime factor）。 *a-1是p的倍数，则p是m的任一素因子。 *如果m是4的倍数，则a1是4的倍数。,（7-4）,17,例7-3,我们要设计一个周期m5000的混合同余发生器。因为 令c等于除2和5之外的素数的乘积，可保证c和m互质，这满足了第一条特性。其中可能的一个设定是：,现在必须选定a的值。若满足,则满足第二特性，p1=2，p2=5,k1,k2任意,18,cont,因为4是m=5000的因数，设定,其中k是整数。当 ，则 ，于是,可以满足第三特性,19,
11、例7-4,这个例子将说明前一例子中设计的LCG确实具有周期。在以下MATLAB程序中，输入种子数，并运行程序直到种子数再次出现。设产生n个整数，如果nm而种子数没有再次出现，则认为发生器进入了一个重复产生短序列的循环中。MATLAB程序如下：,20,a = input(Enter multiplier a ); c = input(Enter offset c ); m = input(Enter modulus m ); seed = input(Enter seed ); n=1; ix = rem(seed*a+c),m); while (ix=seed) disp(text) end,
12、21,22,方法B：具有素模数的乘性算法,乘性发生器的定义式为 它是增量等于零的混合算法。注意，c=0时，xi不能为零，因此，全周期是而不是前面那种情况下的。若满足以下特性，乘性算法能产生全周期序列； *m是素数（通常要求m取较大值） *m为的mod(m)本原元素 如果除i=m-1了外没有更小的i值，使ai-1是m的倍数，则a为的mod(m)本原元素。换句话说，a为mod(m)的本原元素，如果满足,23,方法C：具有非素模数的乘性算法,模数不是素数的同余算法中最重要的情况是m等于2的幂，即 这里n为整数。对式（7-16）定义的算法，最大周期为2n/4=2n-2。如果满足以下条件，可取得这个周期
13、： *乘子 结果为3或5 *种子数x0是奇数,（7-16）,24,由于两个奇数的乘积是奇数，可以推出，若x0是奇数，则由式（7-16）产生的所有值都是奇数，也就是说，产生的值都不是偶数，这使周期减为原来的一半。 式（7-16）产生的奇数分成两组，其中只有一组由给定的种子数产生，这样又使周期减小了一倍。产生的这组奇数一般跟所选的种子数有关 采用m=2n的好处是整数溢出能用于运算，这样缩短了计算时间，这样的结果确实比较理想，但所得的程序不易移植。,25,随机数发生器的测试,前面一节为我们提供了工具，来产生在0与1之间均匀分布的伪随机数。 到目前为止，我们只考虑了由LCG产生的序列的周期。 于特定的
14、应用来说，还要满足其他理想的特性，至少，我们希望序列要满足相关（白噪声）。 具体的应用可能还必须满足其他的要求。 现已开发了多个程序来测试某一给定序列的随机性（randomness），其中最常用的Chi-方（Chi-square）测试、Kolomogorov-Smirnov测试和谱测试。,26,谱测试似乎是功能最强大的。 在后面很多的例子中，要满足的一个最重要的特性是给定序列的元素相互独立或至少互不相关。 为此，我们来考虑两个非常简单的测试：散点图（scatterplots）和Durbin-Watson测试。 需要指出的是给定序列的性质适用于完整的（全周期）序列。如果只用到序列的一部分，则性质
15、不再存在。,27,散点图,所谓散点图就是x(i+1)与x(i)的函数关系图，它表示了随机数发生器经验式的质量指标。本例中所考虑的两个随机数发生器定义如下：,28,可以验证是全周期的 m = 2048; c = 1; seed = 1; % default values of m and c a1 = 65; a2 = 1229; % multiplier values ix1 = seed; ix2 = seed; % initialize algorithm x1 = zeros(1,m); x2 = zeros(1,m); % initialize arrays for i=1:m ix1
16、 = rem(ix1*a1+c),m); x1(i) = ix1/m; ix2 = rem(ix2*a2+c),m); x2(i) = ix2/m; end subplot(1,2,1) y1 = x1(1,2:m),x1(1,1); plot(x1,y1,.) % plot results for a1 subplot(1,2,2) y2 = x2(1,2:m),x2(1,1); plot(x2,y2,.) % plot results for a2,29,30,Durbin-Watson测试,Durbin-Watson独立性测试可以通过计算如下Durbin参数来完成：,其中Xn是一个零均值（zero-mean）随机变量
