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1、2019/1/17,1,组合变形,第八章,2019/1/17,2,8-1 概述,构件同时发生两种或两种以上的基本变形的情况，称为组合变形。,1、组合变形的定义和工程实例,2019/1/17,3,2、组合变形解题的基本方法,解决组合变形问题的基本方法是先分解后叠加, 即首先将复杂的组合变形分解若干个简单的基本变 形;然后分别考虑各个基本变形下发生的内力、应力 和变形情况;最后进行叠加。,2019/1/17,4,3、解组合变形问题的一般步骤,2019/1/17,5,斜弯曲梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外。,8-2 斜弯曲,一、概念,平面弯曲：外力施加在梁的对称面（或主平面）内时，梁将产生平面弯
2、曲。,对称弯曲：平面弯曲的一种。,即梁变形后，轴线位于外力所在的平面之内。,2019/1/17,6,二、斜弯曲时的应力与位移计算,在集中力F1 、 F2 作用下（双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用），梁将分别在水平纵对称面(Oxz)和铅垂纵对称面(Oxy)内发生对称弯曲。,在梁的任意横截面m-m上，F1 、 F2引起的弯矩为,2019/1/17,7,在F2 单独作用下，梁在竖直平面内发生平面弯曲，z轴为中性轴。 在F1 单独作用下，梁在水平平面内发生平面弯曲，y轴为中性轴。 斜弯曲是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。,(2) F1单独作用下,求应力：m-m截面上第一象限
3、某点C(y，z) (1) F2单独作用下,2019/1/17,8,(3) 当F1 和F2共同作用时，应用叠加法,所以,C点的x方向正应力为压,2019/1/17,9,强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为,中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程,危险点：m-m截面上,角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远,2019/1/17,10,上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线, E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。其与y轴的夹角为,
4、是横截面上合成弯矩 M 矢量与 y 轴间的夹角。,一般，截面IyIz，即，因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直。所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内，即是斜弯曲。,对圆形、正方形等Iy=Iz的截面，得= ，即是平面弯曲,2019/1/17,11,例8-1 20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷 q 和集中力F=qa/2 如图。已知钢的许用弯曲正应力=160MPa, a=1m。试求梁的许可载荷集度q,解：作计算简图,将自由端截面B上的集中力沿两主轴分解为,2019/1/17,12,危险截面：由弯矩图 ，可确定A、D两截面为危险截面,A、D截面在xoz、 xoy平面的弯曲截面系数，可查表得,在x
5、oz主轴平面内的弯矩图(y轴为中性轴),在xoy主轴平面内的弯矩图 (z轴为中性轴),2019/1/17,13,可见，梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处是单轴应力状态，强度条件为,即,解得,按叠加法，在xoz主轴平面内、 xoy主轴平面内的弯曲正应力，在x方向叠加,2019/1/17,14,8-3 拉伸(压缩)与弯曲组合,F力作用在杆自由端形心处，作用线位于xy面内，与x轴夹角为., F力既非轴向力，也非横向力，所以变形不是基本变形。,一、横向力与轴向力共同作用,2019/1/17,15,1.外力分解,Fy=Fsin y为对称轴，引起平面弯曲,Fx=Fcos 引起轴向拉伸,2.内力分析,FN
6、=Fx,Mz=Fy(lx),只有一个方向的弯矩，就用平面弯曲的弯矩符号规定。,2019/1/17,16,3.应力及强度条件,FN对应的应力,Mz对应的应力,叠加：,2019/1/17,17,由于忽略了剪切应力，横截面上只有正应力，于是叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：,中性轴(零应力线)发生平移危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘。,由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉伸或单向压缩)，故：强度条件 max ,2019/1/17,18,例 8-2已知：W = 8kN，AB为工字钢，材料为Q235钢， = 100MPa。求: 工字钢型号。,解：,AB受力如图,这是
7、组合变形问 题 压弯组合。,作出AB杆的弯矩图和轴力图,2019/1/17,19,根据内力图：危险截面为C 截面,设计截面的一般步骤,先根据弯曲正应力选择工字钢型号； 再按组合变形的最大正应力校核强度，必要 时选择大一号或大二号的工字钢； 若剪力较大时，还需校核剪切强度。,2019/1/17,20,可以使用,本题不需要校核剪切强度,拉(压)弯组合变形时，危险点的应力状态是 单向应力状态。,按弯曲正应力选择工字钢型号,选16号工字钢,2019/1/17,21,当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。,如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。,二、偏心拉伸与偏心压
8、缩,2019/1/17,22,以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为 e (称为偏心距)的偏心拉力F为例，来说明.,将偏心拉力 F 用静力等效力系来代替。把A点处的拉力F向截面形心O1点简化，得到轴向拉力F和两个在纵对称面内的力偶Mey、Mez。,因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、O1xz内的纯弯曲。,2019/1/17,23,轴力FN=F 引起的正应力,弯矩My=Mey 引起的正应力,弯矩Mz=Mez 引起的正应力,按叠加法，得C点的正应力,A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。,在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为,2019
9、/1/17,24,利用惯性矩与惯性半径间的关系,C点的正应力表达式变为,取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程,2019/1/17,25,可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。,求出中性轴在y、z两轴上的截距,对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。,2019/1/17,26,对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处。如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时，若杆任一横截面上的内力分量为FN=F、 My=
10、FzF， Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：,按叠加法叠加得,2019/1/17,27,可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角D1、D2处，其值为,危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为,2019/1/17,28,补充例题 图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向正应变分别为a1103、 b 0.4103，材料的弹性模量E210GPa 。(1).试绘出横截面上的正应力分布图；(2).求拉力F及偏心距的距离。,2019/1/17,29,当偏心拉（压）作用点位于某一个区域时，横截面上只出现一种性质的应力(偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力)，这样一个截面形心附近的区
11、域就称为截面核心。 对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩），由于它们的抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。 为此，应使中性轴不与横截面相交。,三、截面核心,2019/1/17,30,作一系列与截面周边相切的直线作为中性轴，由每一条中性轴在 y、z 轴上的截距ay1、az1，即可求得与其对应的偏心力作用点的坐标(yF1,zF1)。有了一系列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）,前面偏心拉（压）计算的中性轴截距表达式,2019/1/17,31,例8-4 求矩形截面的截面核心,边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯
12、性轴。,得,若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为,2019/1/17,32,例8-5 求圆截面核心,对于圆心 O 是极对称的，截面核心的边界对于圆心也应是极对称的，即为一圆心为 O 的圆。,得,作一条与圆截面周边相切于A点的直线，将其看作为中性轴，并取OA为y轴，于是，该中性轴在y、z两个形心主惯性轴上的截距分别为,2019/1/17,33,同理，分别将与BC、CD和DA边相切的直线、看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标依次为,当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线。 于是，将1、2、3、
13、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形，,2019/1/17,34,AB段为等直实心圆截面杆,作受力简化,作M、Mx,以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题,8-4 弯曲与扭转的组合,2019/1/17,35,F力使AB杆发生弯曲，外力偶矩Me=FR使它发生扭转。,由弯矩、扭矩图知，危险截面为固定端截面A危险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力、切应力为,A截面的上、下两个点C1和C2是危险点 C1点的应力状态，取单元体得-二向应力状态,2019/1/17,36,可用相应的强度理论对其校核， 如第四强度理论，第三强度理论。在这种特定的平面应力状态下，这两个强度
14、理论的相当应力的表达式可得,按应力状态分析的知识， C1点三个主应力为,2019/1/17,37,注意到=M/W、= Mx/Wp, 相当应力改写为,上式同样适用于空心圆截面杆，对其它的弯扭组合，可同样采用上面的分析方法。,2019/1/17,38,例8-6 图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有铅垂切向力5kN，径向力1.82kN；齿轮 D 上作用有水平切向力10kN，径向力3.64kN。齿轮 C 的节圆直径dC=400mm，齿轮D的节圆直径dD=200mm。设许用应力=100MPa，试按第四强度理论求轴的直径。,解：将每个齿轮上的切向外力向该轴的截面形心简化。,2019/1/17,39,作出轴在xy、xz两纵对称平面内的两个弯矩图以及扭矩图,对于圆截面杆，通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，可将My、Mz按矢量和求得总弯矩。 并用总弯矩来计算该横截面上的正应力。 横截面B上的总弯矩最大。再考虑扭矩图，得B截面是危险截面.,2019/1/17,40,按本节等直实心圆截面杆在弯扭组合下的强度条件,解得,2019/1/17,41,
