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1、了解矢量,已知条件：三条线段长度相等并相互平行,矢量分析,矢量 矢量可用有向线段来表示。 若在直角坐标系下， 可表示为 为单位矢量。 与x,y,z轴的夹角为 ， ， ， 则,矢量分析,矢量的代数运算 矢量的加减法 几何作图法（平行四边形法则，三角形法则） 标量乘矢量,矢量分析,3.矢量的标积（点积，点乘） 任何两个矢量的标量积是个标量 满足交换律 分配律 若 则 与 正交,矢量分析,矢量的矢积（叉积，叉乘） 任何两个矢量的矢量积是个矢量 表示由 ， 确定平面的法向。,矢量分析,在直角坐标系下 不服从交换率 服从分配率 可作为判断平行的条件 =0 或,矢量分析,5.矢量的混合运算 6.单位矢量,
2、矢量分析,1.三种常用坐标系下的矢量场 1.直角坐标系(rectangular coordinate system) 用x,y,z表示,变化范围： 单位矢量 : 相互正交 长度单元: 矢量 表示为：,Cartesian coordinate system,2.柱坐标 cylindrical coordinate system 用 表示,变化范围： 单位矢量: 相互正交 矢量 表示为：,矢量分析,矢量分析,长度单元:,矢量分析,3.球坐标系 spherical coordinate system 用 表示，变化范围： 单位矢量： 相互正交 矢量 表示为：,矢量分析,长度单元： 为过该点球面法向；
3、 为过该点向 增大的方向； 为过该点平行xy平面指向 增大的方向。,矢量分析,矢量分析,1.给定三个矢量 如下： 求（1） （2） （3） （4） （5） 和 2.证明两个矢量 和 是相互平行的。,标量、矢量与场,标量：只有大小，没有方向，这种物理量叫做标量，如温度T、电荷密度。 矢量:要用大小及方向同时表示的物理量叫矢量。如速度 ，电场强度 场：如果在空间域上，每一点都存在一确定的物理量A，我们就说：场域上存在由场量A构成的场。 如果A是标量，我们称场域上存在一标量场；同理如果 是矢量，则说明场域 上存在一矢量场。 场是物质存在的一种形态，但有别于实物粒子。在空间统一点上同时允许存在多种场，
4、或者一种场的多种模式。这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。,方向导数,1.标量场的方向导数 设M0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M，MM0=，如图1-2所示。若当M趋于M0时(即趋于零时)，,图 1-2 方向导数的定义,方向导数,的极限存在，则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为,若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为,标量场的梯度,2. 标量场的梯度 在直角坐标系中，令 式中 分别是l与 轴的
5、夹角， 记为标量函数的梯度,标量场的梯度（gradient） 标量函数的梯度 -哈密顿算符，矢性的微分算符。 在直角坐标系下： 梯度的物理意义：在给定点处，梯度的方向表示最大方向导数的方向，其模值为最大方向导数的数值，它在任一方向的投影就是该方向的方向导数。 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标的函数。 梯度的旋度恒等于零。,常用梯度公式,矢量场的通量和散度,3 .矢量场的通量 将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为dS， 即是面元法线方向的单位矢量。 将曲面S各面元上的 相加，它表示矢量场 穿过整个曲面S的通量，也称为矢量 在曲面S上的面积分： 如果曲面是一个封
6、闭曲面，则,矢量场的通量和散度,4.矢量场的散度 称此极限为矢量场 在某点的散度，记为 ，即散度的定义式为,矢量场的通量和散度,4.散度（divergence） 矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量A的标量积， 即 散度在直角坐标中的计算公式,矢量场的通量和散度,散度的意义与性质 矢量场中某点的散度表示矢量场在该点通量源（散度源）的强度，给出了散度源于矢量场各分量的空间变化率的关系。 高斯定理 矢量函数的面积分与体积分的互换。 该公式表明了区域V 中场 与边界S上的场 之间的关系。,矢量场的环量和旋度,在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，
7、即,矢量场的环量和旋度,5.矢量场的旋度,矢量场的环量和旋度,旋度（rotation） 1.矢量场的旋度 在直角坐标系下,矢量场的环量和旋度,2.旋度的意义和性质 对于矢量场 ，在给定点 的方向为该点最大环量的方向， 的模为最大环量的数值。 矢量场表示矢量场的空间变化率，该变化率就等于引起矢量场的旋度源。,矢量场的环量和旋度,为拉普拉斯算符,矢量场的环量和旋度,3.斯托克斯公式： 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线l上的环量等于闭合曲线l所包围曲面S上旋度的总和， 即,矢量分析,4、散度与旋度对比 （1）都是描述矢量场在空间的变化 （2）旋度是矢量，散度是标量。 （3）旋度表示场点和旋涡源的关系； 散度表示场点和通量源的关系。 （4）旋度场描述矢量与它相垂直方向的变化规律； 散度场描述矢量沿它自身方向的变化规律。,矢量分析,5.无源场与无散场 矢量场的源：散度源，旋度源 仅由散度源产生的场 仅由旋度源产生的场,6.亥姆霍茨定理： 空间有限区域 内任一矢量场可由它的散度、旋度和边界条件唯一确定，并且它可以表示为一个梯度场和一个旋度场的叠加。 =0 边界条件（B.C.）指场域边界面（或线）上每一点的场值,
