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1、电磁感应中的双杆运动问题江苏省特级教师 戴儒京有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。电磁感应中的“轨道”问题，较多见诸杂志，而电磁感应中的“双杆运动”问题的专门研究文章，在物理教学研究类杂志还很咸见，兹举例说明如下。例1.2006年高考重庆卷第21题21.两根相距为L的足够长的金属直角导轨如题21图所示放置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B,方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水
2、平导轨的拉力F作用下以速度V1沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度V2向下匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是A.ab杆所受拉力F的大小为mg+B.cd杆所受摩擦力为零C.回路中的电流强度为D.与V1大小的关系为=【解析】因4个选项提出的问题皆不同，要逐一选项判断A 因为ab杆做匀速运动，所以受力平衡，有，其中, , , 所以, 所以F=mg+,A正确；B 因为cd杆在竖直方向做匀速运动，受力平衡，所以cd杆受摩擦力大小为，或者，因为cd杆所受安培力作为对轨道的压力，所以cd杆受摩擦力大小为,总之，B错误；C 因为只有ab杆产生动生电动势（cd杆运动不切割磁感线），所以回路中的电流强度为
3、，C错误；D 根据B中和，得=，所以D正确。本题答案为AD。【点评】ab杆和cd杆两杆在同一个金属直角导轨上都做匀速运动，因为ab杆切割磁感线而cd杆不切割磁感线，所以感应电动势是其中一个杆产生的电动势，即，而不是, 电流是，而不是。例2. 2006年高考广东卷第20题16（16分）如图11所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为的匀质金属杆和，开始时两根金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r。现有一质量为的不带电小球
4、以水平向右的速度撞击杆的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点。C点与杆初始位置相距为S。求：（1）回路内感应电流的最大值；（2）整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量；（3）当杆与杆的速度比为时，受到的安培力大小。【解析】设撞击后小球反弹的速度为，金属杆的速度为，根据动量守恒定律， 根据平抛运动的分解，有由以上2式解得 代入得 回路内感应电动势的最大值为，电阻为，所以回路内感应电流的最大值为。 （2）因为在安培力的作用下，金属杆做减速运动，金属杆做加速运动，当两杆速度大小相等时，回路内感应电流为0，根据能量守恒定律， 其中是两杆速度大小相等时的速度，根据动量守恒定律，所以，代入式得Q= （
5、3）设金属杆、速度大小分别为、，根据动量守恒定律，又，所以，。金属杆、速度方向都向右，根据右手定则判断、产生的感应电动势在回路中方向相反，所以感应电动势为，电流为，安培力为,所以受到的安培力大小为F=。当然受到的安培力大小也如此，只不过方向相反。答案：16.(1) (2)Q= (3)F= 【点评】金属杆、两杆在同一个金属U形导轨上都做变速运动，运动方向相同（都向右），同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同（都向外），但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势是这两个电动势之差，即， 电流是，方向为金属杆中感应电流的方向，因为比产生的感应电动势大，安培力是
6、，方向都和速度方向相反（都向左）。例3. 2004年高考全国I卷第24题24.（18分）图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感强度B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在平面（纸面）向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1、m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆x1y1上竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻
7、上的热功率。【解析】（1）设x1y1与x2y2匀速向上运动的速度为，根据右手定则，x1y1与x2y2切割磁感线产生的感应电动势都向左，在回路中的方向相反，大小分别为和，因为，所以总电动势为，方向与x2y2产生的感应电动势相同，感应电流为, 方向为顺时针，如下图。设x1y1与x2y2受到的安培力分别为、,根据左手定则判断安培力的方向为向上、向下，大小为=、=，受力图如下图。根据力的平衡，有：=联立以上各式，解得：R，所以作用于两杆的重力的功率的大小为P R（m1m2）g。（2）回路电阻上的热功率, 将以上式代入得2R答案：P R（m1m2）g p2R【点评】两杆切割磁感线产生的感应电动势在回路中
8、的方向相反，所以总电动势为，方向与感应电动势大的相同，感应电流为, 方向为总电动势的方向。两杆受到的安培力分别为、,根据左手定则判断安培力的方向，大小为=、=。例4. 2004年高考广东卷第15题 M 2 1 N P Q15(15分)如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,导轨间距离为，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为和,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功
9、的功率。 【解析】 根据右手定则，杆1产生的感应电流方向向上，则杆2中电流方向向下，杆2受的安培力向右，速度向右，设为，由于两杆运动时产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以，总感应电动势为 感应电流 杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力， 联立以上3式解得： 导体杆2克服摩擦力做功的功率 解得 【点评】本例中杆2中由于杆1产生的感应电流流过而受安培力，才产生运动从而产生感应电动势，因为杆2产生的感应电动势与杆1产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以总感应电动势为，感应电流为，安培力为=,两杆受的安培力大小相等、方向相反，对杆1，是阻力，对杆2，是动力。如维持匀速运动，杆2的速度
10、必小于杆1的速度。例5.（2010年南京市三模第15题）如图所示，两根足够长的平行导轨由倾斜和水平两部分连接组成，导轨间距，倾斜角，水平部分处于磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左边界MN与导轨垂直，金属棒ab质量，电阻,金属棒cd质量，电阻,导轨电阻不计。两棒与导轨间动摩擦因数。开始时，棒ab放在斜导轨上，与水平导轨高度差，棒cd放在水平导轨上，距MN距离为，两棒均与导轨垂直，现将ab棒由静止释放。取，求：（1） 棒ab运动到MN处的速度大小；（2） 棒cd运动的最大加速度；（3） 若导轨水平部分光滑，要使两棒不相碰，棒cd距MN的最小距离。解：（1）根据动能定理，对ab棒有：，
11、解得：（2）棒ab运动到MN处，棒cd运动的加速度最大，,所以代入数据，解得。（3）若要不相碰，两杆最终速度相等，设为，因两棒都是在大小相等的安培力作用下，所以两棒的加速度大小任何时刻都相等，所以ab棒速度的减小量等于cd棒速度的增加量，即，所以，速度的变化为。设某时刻，ab棒速度为，cd棒速度为，则该时刻回路的感应电动势为，电流为,安培力为，加速度为，对短时间，速度的变化为，当速度变化为时，因为这就是在这段时间内ab棒壁cd棒多运动的位移，所以。归纳总结：1. 电磁感应中“轨道”中的“双杆运动”问题，或者由于两杆的长度不同（如例3），或者由于两杆的速度不同（如例2、例4），两杆产生的感应电动势往往不等。2. 两杆产生的感应电动势的方向是否相同，不是看空间方向（如力的方向），而是看回路中的方向，如相同，则相加，如相反，则相减，往往相反，则总电动势的方向为大者，感应电流的方向与总电动势方向相同。3. 两杆所受安培力的方向用左手定则分别判断。4. 运动中克服安培力做的功（功率）等于机械能转变为动能的功（功率），亦即等于焦耳热（焦耳热功率）。5. 当速度为变量时，如例5，可用微元法解。在用微元法时要注意：总电动势为，电流为，安培力为
