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1、正弦定理、余弦定理应用举例 要点梳理 1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外） 才能求解，常见类型及其解法如表所示.,基础知识 自主学习,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等. 3.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 叫仰角, 目标视线在水平视线 叫俯角（如图）.,上方,下方,(2)方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为（如图）. （3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.,正北
2、,基础自测 1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60,C点的俯角是70，则BAC 等于（ ） A.10 B.50 C.120 D.130 解析 由已知BAD=60,CAD=70, BAC=60+70=130.,D,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔 A在观察站北偏东40,灯塔B在观察站南偏 东60，则灯塔A在灯塔B的（ ） A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10 解析 灯塔A、B的相对位置如图所示， 由已知得ACB=80， CAB=CBA=50， 则=60-50=10.,B,3.在ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，则边AC 上的
3、高为（ ） A. B. C. D. 解析 由余弦定理可得：,B,4.ABC中,若A=60,b=16,此三角形面积 则a的值为（ ） A.20 B.25 C.55 D.49 解析 由S= bcsin A=220 ,得c=55. 由余弦定理得 a2=162+552-21655cos 60=2 401, a=49.,D,5.(2009湖南文,14)在锐角ABC中,BC=1,B=2A, 则 的值等于 ,AC的取值范围为 . 解析,2,题型一 与距离有关的问题 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取 相距 km的C、D两点,并测得ACB=75, BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B之间的距
4、离. 分析题意，作出草图，综合运用正、 余弦定理求解.,题型分类 深度剖析,解 如图所示在ACD中， ACD=120，CAD=ADC=30， AC=CD= km. 在BCD中，BCD=45， BDC=75，CBD=60. 在ABC中，由余弦定理，得,B,求距离问题要注意： （1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所 求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若 有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求 解. （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可 用，就选择更便于计算的定理.,知能迁移1（2009海南,宁夏理， 17）为了测量两山顶M、N间的 距离，飞机沿水平方向在A、B 两点进行测量，
5、A、B、M、N在同一个铅垂平面 内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和 A、B间的距离，请设计一个方案，包括：指 出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标 出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离 的步骤.,解 方案一：需要测量的数据有：A点到M、N 点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示). 第一步：计算AM.由正弦定理 第二步：计算AN.由正弦定理 第三步：计算MN.由余弦定理,方案二：需要测量的数据有：A点到M、N点的 俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2; A、B的距离d（如图所示）. 第一步：计算BM.由正弦定理 第二步：计算BN.由正弦定理 第三
6、步：计算MN.由余弦定理,题型二 与高度有关的问题 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向 前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得 塔顶的最大仰角为30，求塔高. 依题意画图，某人在C 处,AB为塔高,他沿CD前进，CD= 40米，此时DBF=45,从C到D 沿途测塔的仰角，只有B到测试点 的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB = AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出 塔高AB,必须先求BE，而要求BE，需先求BD （或BC）.,解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD 前进，CD=40，此时DBF=45，过点B作BE CD于E，则AEB=30，,在BCD中,CD=40,B
7、CD=30,DBC=135, BDE=180-135-30=15. 在RtBED中， BE=DBsin 15 在RtABE中，AEB=30， AB=BEtan 30= 故所求的塔高为,解斜三角形应用题的一般步骤是： （1）准确理解题意，分清已知与所求； （2）依题意画出示意图； （3）分析与问题有关的三角形； （4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形, 逐步求解问题的答案； （5）注意方程思想的运用； （6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.,知能迁移2 如图所示，测量河对岸的 塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D，现测得 BCD=，BDC=，CD=s，并 在点C
8、测得塔顶A的仰角为，求塔高AB. 解 在BCD中，CBD=-,题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 (12分)如图所示,在梯形 ABCD中， ADBC，AB=5， AC=9，BCA=30,ADB=45， 求BD的长. 由于AB=5，ADB=45，因此要 求BD，可在ABD中，由正弦定理求解,关键 是确定BAD的正弦值.在ABC中,AB=5, AC=9，ACB=30,因此可用正弦定理求 出sinABC,再依据ABC与BAD互补确定 sinBAD即可.,解 在ABC中，AB=5，AC=9，BCA=30. ADBC，BAD=180-ABC, 于是sinBAD=sinABC= . 8分 同理，在
9、ABD中，AB=5，sinBAD= ， ADB=45， 解得BD= .故BD的长为 . 要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形 分割成若干个三角形.在分割时，要注意有利于应用正、 余弦定理.,6分,12分,解题示范,知能迁移3 如图所示，已知半圆的直径AB=2， 点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的 一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与 圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的 最大值.,解 设POB=，四边形面积为y， 则在POC中，由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OPOCcos =5-4cos .,方法与技巧 1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立
10、三角函数模型. 2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.,思想方法 感悟提高,失误与防范 在解实际问题时，应正确理解如下角的含义. 1.方向角从指定方向线到目标方向线的水平角. 2.方位角从正北方向线顺时针到目标方向线 的水平角. 3.坡度坡面与水平面的二面角的度数. 4.仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内 的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线 下方时称为俯角.,一、选择题 1.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别是30，60,则塔高为 （ ） 解析 作出
11、示意图如图， 由已知：在RtOAC中， OA=200，OAC=30， 则OC=OAtanOAC =200tan 30= 在RtABD中，AD= ，BAD=30， 则BD=ADtanBAD=,A,定时检测,2.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两 个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时 后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船 的南偏西75，则这艘船的速度是每小时 （ ） A.5 海里 B.5 海里 C.10 海里 D.10 海里 解析 如图所示，依题意有BAC=60， BAD=75， 所以CAD=CDA=15， 从而CD=CA=10， 在RtABC中，得AB=5， 于是这艘船
12、的速度是 （海里/小时）.,C,3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋 观察站C的距离都等于a km,灯塔A在 观察站C的北偏东20，灯塔B 在观察 站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B 的距离为 （ ） A.a km B. a km C. a km D.2a km 解析 利用余弦定理解ABC.易知ACB=120, 在ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC BC cos 120=2a2-2a2,B,4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔 P的南偏西75距塔68海里的M处,下午2时到达这 座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 （ ） A. 海里/小时 B. 海里/小
13、时 C. 海里/小时 D. 海里/小时,解析 如图所示，在PMN中，,答案 A,5.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20 海里,随后货轮按北偏西30的方向 航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则 货轮的速度为 （ ） A.20 海里/小时 B.20 海里/小时 C.20 海里/小时 D.20 海里/小时,解析 由题意知SM=20,SNM=105, NMS=45, 答案 B,6.线段AB外有一点C,ABC=60, AB=200 km,汽车以 80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的 速度由B向C行驶,则运动开始 h后，两车的距离最
14、 小. （ ） 解析 如图所示，设t h后,汽 车由A行驶到D，摩托车由B行 驶到E，则AD=80t，BE=50t. 因为AB=200，所以BD=200-80t， 问题就是求DE最小时t的值. 由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60 =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)50t =12 900t2-42 000t+40 000.,C,7.在ABC中,BC=1,B= ，当ABC的面积等于 时，tan C= . 解析 SABC= acsin B= ,c=4. 由余弦定理：b2=a2+c2-2accos B=13,二、填空题,8.在ABC中,AC= ，BC=2
15、，B=60,则A的大 小是 ，AB= . 解析,45,9.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60的方向,两船 相距a海里,乙船正向北行驶, 若甲船是乙船速度的 倍，则甲船应取方向 才能追上乙船；追上时甲 船行驶了 海里. 解析 如图所示，设到C点甲船追上乙船， 乙到C地用的时间为t，乙船的速度为v, 则BC=tv，AC= tv，B=120， BC=AB=a， AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 120,北偏东30,三、解答题 10.如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等 于60,半径为2,在弧AB上有一动 点P，过点P引平行于OB的直线和OA 交于点C，设AOP=，求POC 面积的最大值及此时的值. 解 CPOB，CPO=POB=60-， OCP=120. 在POC中，由正弦定理得,11.在ABC中，已知 (1)sin2 cos(B+C)的值; (2)若
