《无穷级数收敛性的狄利克雷判别定理条件的必要性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《无穷级数收敛性的狄利克雷判别定理条件的必要性（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第另卷第?期 ? ? 年 ? 月 ? ? ? 。? 。, 冬舞玉器粼袋靡蒸得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 无穷级数收敛性的狄利克雷判别 ? 定理条件的必要性 ? 祁正涛 ?盐城工业专科学校 , 盐城? ? ?。? ? 在无穷级数与无穷积分的收敛性判别定理中 , 狄利克雷? ? ? ? ? ?判别法 占有相当重要 的地位 。 对此判别定理中所设条件的充分性在大多数数学分析教材中都作了论证 ? 然而该定 理中条件是否必要呢?本文对此提出一点看法 , 并就在常数项级数 , 函数项级数及无穷积分 中 狄利克雷定理条件的必要性作出论证 。 ? 常数项级数中狄利克雷定理 原
2、定理的内容是 ? 如果级数名 ? ? 的部分和有界 , 而数列? ? 是单调减少且?瓦一 。 , 则级数 月? ? ? ? 名? 。 收敛 。 定理中两个条件 ? ?公 ? 。 部分和有界 ? ?数列瓦单调减少且? ? ?一。 , 不仅是充分的而 且 也是必要的 , 即有如下定理 。 定理 ? 常数项级数习 “。 收敛的充分 且必要条件是 ? 存在分解式 ? 一 入? ? 使得级数习? ? 月”?月居? 的部分和有界 , 数列 ? ? 单调减少且? ? 二 ? ? 。 证充分性 见数学分析教材 , 本文不再重复 。 必要性 设级数兄 “。 收敛 , 则对任意正数 。, 必存在正整数? , 使得
3、当? ?时 , 有 沙 ? 成立 。 那么 , 对于 ? 、? 一? ? 为正 整数? , 必存在正整数? ? ? 一、?, 使得 ? 二峥 当?风时 , 有 】名 “ 二 ? ? 一 ?, ? ? ? , ? , ? ,? ? 令 ” 一气 ?一 当 ?镇 ? 簇? , ? 、? ? 镇? 亡? ? , ? , ? , ? ? ? 华 , ,一 , ? , ? , ? 仇 则 气一气而且数列” 是单调减少的 , ?咬 瓦一 “ 。 下面证明级数叠 二即级数叠 瓮 的部分和有界 , 为此 记 ?凡一 叠会 , 即证 ? 有界 ? 当 ,? 簇? , 时 , ? , ? 三 ? ? ? 。 ?一
4、 ?弓? ? 刀、 成名? ? ? 习? ?苦? 一 ? , 球多 斌城工业专科学狡学报 ? ? 年 ? ? 为某确定常数 , 故? ? 有界 。 卿肖 元? 万 ? 时 , 必存在一个正整数? , 满足? ? ? ” 簇?。 , , 终 时 ? 绮 一认 ? 。 一习 子? 口? 衬, 习 ?留? 。 ? 月, , ?、 令? 十 又 甘亡 云生 柑, 。 ? ? ? ? 今 兰 一 程 ?, ? ? ,? ? 伙 一, ?了飞入?、 洲又?刀? 、 , 十 从 一认 价 云间 一一 ? ?一 氏 刀? 习 “ 十 十 “ 价 云 一一 公? ,、?、?公 “, ? ? ? , 月一? ,
5、? ? ? ? 十 十 云 ?一 ? ? “ ? 习? 从 ? ?一? ?扣盆? 名 “ 一洲一? 习 明扣之? 。? ? ?名 约 一衬含十主 名 ? 衬? “? ? ? 习 帐 份 ? 一? ? ?云 ,拟一? 习 扣? ? ? 十? ? 一 习 绮 二 十? ? 从 ? ?习 ?匆柑? ? ?名 柑? ? ? ? ?名 , 柑? ? ?云 亡?柑? “? ? ? ? ? ? ? ?卜? ? ?上一 如 ? 下 ? ? ? ?尺 一 ? ? 名 ?卜 ? 二扮一?尧 ?材 ? ? ?告 ? 奋? ? ? ? ? ?补 补奋 ? ? ? ?一? 加, ? ? 一,? ? ? ? ? 卜 ?
6、? , ? ?琢不二而 十 万?十 八?万十 万? ?材 ? ? ? ? ? 从? ? ? ? ? 一 从 ? 尽 一? ? 综合? 、 ? ?得级数习? , 的前 ? 项和 ? 。 有界 。 于是定理?的必要性得证 。 ? 函 教项级数中狄利克留定理 类似地关于 函数项级数中判别收敛性 的狄利克雷定理可以改述为如下定理 。 定理 “ 函数项级数属 “在区间 ? ? “ 上一致收敛的充分必要条件是 ? 存在分解式 。 ? ? ? ? ? ? ? , 使得函数项级数名 ? ? ? 部分和在区间? ,习上 ?致有界 , 且 函数序列 ? ? ? 对一切 ? 任 ? ? , 习是单调减少且一致趋近于
7、零 。 证充分性可参见有关教材 。 必要性 设习 “ ? ? ? ? 在 ? , 习上 一致收敛 , 那么 , 对于任意正数 。, 必存在正整数 ?是与 无关的 , 使得当? ?时 , 对一切 ? ? ? , ”都有 ?旦 叭“, ? 成立 。 于是 , 对于 。二 ? 一? ? 为正整数? ,必存在? ?是 与?无关的 , ? 、? ?一, ? ,使得当? ? 时 , 对一切金叙二 , ? ? , 都有?只 “?, ? ? , “一 , “ , 令 ? ? ? ? ? ? , 。 簇 ? 簇川? 气 甲? ? 第 ? 期 数学专辑祁正涛 ? 无穷级数收敛性的狄利克雷判别定理条件的必要性 ?
8、? 弓N , l习 u(x ) 一 1 当 x 任 I时 当 x 任 a, b 且 x 百I时 作函数序列 (S (x) b ( , 一 飞 ,一 当1簇 n N , 当N , N , 时 , 必存在正整数K , 满足 N K 。, 积分伽( , d x 存在且有界 。 现对此定理的必要性部分证明如下 。 证设犷 一f (二)d二 收敛 , 则对任意正数 。, 必存在正数B , 使得当 广 一, (X, dX I B 时(B a), 有 成立 。 那么 , 对于 e 一i 一, 必存在正数B ( B a 且 B ) 及 一 :, 使得当b B 、 时 , 有 犷 一f (X) d X 卜告 ,
9、 “一 , 2 , 3 , , 令 / X)一 1 当 a 镇 x 镇B ; 时 l 、, , , , n 了兰场 夭 x 、玖 一 1 , 乙 , 击 “ 盯 g(x) f(x) 抓x) (a镇x a, 因为f( x)在 a, 习上可积 , 则f( x) l在 a , 妇也可积 。 1 )当”簇B , 时 , J : g ( 二) d x 一 仁 f ( 二) d x, 故仁 g( 二) d二 存在 。 丁 : g( X) dx ( 仁 I f( X, dX镇 丁 ” f x, l“ x 一 从 M ;是 一 确定常数 。 那么仁 g(二)d二 有界 。 ( 2 ) 当 b 召 , 时 ,
10、一定存在正整数K , 使得B K 。 , 积分仁 g( x) f ( 二) 一定存在有界 , 定理必要性得证 。 参考文献 江泽坚 . 数学分析 . 人民教育出版社 .1978 (上接第110页) 一一 夕1 aj * ,卜 .” a今红 阵|队 l | | I a 一一 D 其中1( j l 气(A )气(A ) d户( D )(D ) 因而D为广义对角占优实矩阵 , 又因D的对角线元素(亦为A的对角线元素)皆为正 , 由推论 2 , d e t D O 。 r A I : l 关 ! ( z ) t h 于 d e t 、 。 , 所以、 ! 存在 , 且A 一忐 ” 2 2 . . .
11、1 , 其中 A i j 沁 的元 l 关 L A 。 j 素 a、的代数余子式 , 由(l )显然有A 。 O , j一1, , n , 而de tA 0 , 从而A 一对 角线元素皆为 正 。 参考文献 1 咚文廷 . 关于几类矩阵特征值分布 . 数学学报 .197 7 , 2。( 4) :2 7 2 27 5 2 张家驹 . 共扼对角占优矩阵的特征值分布 . 数学学报 .198 0 , 23( 4 ) : 5 4 4 一54 6 3Pullm an, N . J . M a tr i x Th eor y an dA pp li eat i ons . M aree lD e kk er I ne . N e wY o r k an d B ase l . 1 9 76 : 2 09 227
