[工学]第7章 运输问题

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1、1,第七章 运 输 问 题,1 运 输 模 型 2 运输问题的计算机求解 3 运输问题的应用 4* 运输问题的表上作业法,2,例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？,解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：,Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 +

2、x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）,1 运 输 模 型,3,一般运输模型：产销平衡 A1、 A2、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、Bn 表示某物质的n个销地；si 表示产地Ai的产量； dj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型： m n Min f = cij xij i = 1 j = 1 n s.t. xij = si i = 1,2,m j = 1 m xij

3、 = dj j = 1,2,n i = 1 xij 0 (i = 1,2,m ; j = 1,2,n) 变化： 1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束)； 3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。,4,2 运输问题的计算机求解,例2、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？ 解：增加一个 虚设的销地 运输费用为0,5,例3、某公司从两个产地A1、A

4、2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？ 解：增加一个 虚设的产地 运输费用为0,6,3 运输问题的应用,一、产销不平衡的运输问题 例4、石家庄北方研究院有一、二、三3个区。每年分别需要用煤3000、1000、2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力分别为1500、4000吨，运价为： 由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0-300吨，二区必须满 足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案。 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：

5、这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取值为0。,7,例5、设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表： 试求总费用为最低的化肥调拨方案。 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表： 最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M ，而最高要求与最低 要求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的销量 50 是考虑问题本身适当取的数据，根据产销平衡要求确定 D的产量为 50。,8,二、生产与储存问题 例6、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油

6、机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。,9,解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那么应满足： 交货：x11 = 10 生产：x11 + x12 + x13 + x14 25 x12 + x22 = 15 x22 + x23 + x24 35 x13 + x23 + x33 = 25 x33 + x34 30 x14 + x24 + x34 + x44 = 20 x44 10 把第 i 季度生产的柴油机数

7、目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交 货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作 运费。可构造下列产销平衡问题： 目标函数：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44,10,例7、光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表： 已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货， 则需要运到分厂库房，每台增

8、加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓 储费、维护费为0.2万元。在7-8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6 月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本1万 元。问应如何安排1-6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓 储、维护）最少？,11,解： 这个生产存储问题可化为运输问题来做。考虑：各月生产与交货分别视为产地和销地 1）1-6月份合计生产能力（包括上年末储存量）为743台，销量为707台。设一假想销地销量为36； 2）上年末库存103台，只有仓储费和运输费，把它列为第0行； 3）6月份的需求除70台销量外，还要80台库存，其需求应为70+80=150台；

9、 4）1-6表示1-6月份正常生产情况， 1-6表示1-6月份加班生产情况。 产销平衡与运价表：,12,用“管理运筹学”软件解得的结果是：1-6月最低生产费用为8307.5万元，每月的销售安排如下表所示,13,三、转运问题： 在原运输问题上增加若干转运站。运输方式有：产地 转运站、转 运站 销地、产地 产地、产地 销地、销地 转运站、销地 产 地等。 例8、腾飞电子仪器公司在大连和广州 有两个分厂生产同一种仪器，大连分厂 每月生产400台，广州分厂每月生产600 台。该公司在上海和天津有两个销售公 司负责对南京、济南、南昌、青岛四个 城市的仪器供应。另外因为大连距离青 岛较近，公司同意大连分厂

10、向青岛直接 供货，运输费用如图，单位是百元。问应该如何调运仪器， 可使总运输费用最低？图中 1- 广州、2 - 大连、 3 - 上海、4 - 天津、5 - 南京、6 - 济南、7 - 南昌、8 - 青岛,14,解：设 xij 为从 i 到 j 的运输量，可得到有下列特点的线性规划模型： 目标函数：Min f = 所有可能的运输费用（运输单价与运输量乘积之和） 约束条件： 对产地（发点） i ：输出量 - 输入量 = 产量 对转运站（中转点）：输入量 - 输出量 = 0 对销地（收点） j ：输入量 - 输出量 = 销量,15,目标函数： Min f = 2x13+ 3x14+ 3x23+ x2

11、4+ 4x28 + 2x35+ 6x36+ 3x37+ 6x38+ 4x45+ 4x46+ 6x47+ 5x48 约束条件： s.t. x13+ x14 600 (广州分厂供应量限制） x23+ x24+ x28 400 (大连分厂供应量限制） -x13- x23 + x35 + x36+ x37 + x38 = 0 （上海销售公司，转运站） -x14- x24 + x45 + x46+ x47 + x48 = 0 （天津销售公司，转运站） x35+ x45 = 200 （南京的销量） x36+ x46 = 150 （济南的销量） x37+ x47 = 350 （南昌的销量） x38+ x48

12、 + x28 = 300 （青岛的销量） xij 0 , i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8,16,用“管理运筹学”软件求得结果： x13 = 550 x14 =50 ； x23 = 0 x24 = 100 x28 = 300 ； x35 = 200 x36 = 0 x37 = 350 x38 = 0 ； x45 = 0 x46 = 150 x47 = 0 x48 = 0 。 最小运输费用为：4600百元,17,例9、某公司有A1、 A2、 A3三个分厂生产某种物资，分别供应B1、 B2、 B3、 B4四个地区的销售公司销售。假设质量相同，有关数据如下表： 试求总费用为最少的调运方案。

13、 假设： 1.每个分厂的物资不一定直接发运到销地，可以从其中几个产地集中一起运； 2.运往各销地的物资可以先运给其中几个销地，再转运给其他销地； 3.除产销地之外，还有几个中转站，在产地之间、销地之间或在产地与销地之间转运。,18,运价如下表： 解：把此转运问题转化为一般运输问题： 1、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和销地； 2、运输表中不可能方案的运费取作M，自身对自身的运费为0； 3、Ai： 产量为 20+原产量， 销量为 20； Ti ： 产量、销量均为 20； Bi： 产量为 20， 销量为 20 +原销量，其中20为各点可能变化的最大流量； 4、对于最优方案，其中 xi i

14、为自身对自身的运量，实际上不进行运作。,19,扩大的运输问题产销平衡与运价表：,20,4* 运输问题的表上作业法,表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。 运输问题都存在最优解。 计算过程（假设产销平衡）： 1.找出初始基本可行解。对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，则有m个关于产量的约束方程和n个关于销量的约束方程。由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方程，即运输问题有m+n-1个基变量。在mn的产销平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量的值即为基变量的值。 2.求各非基变量的检验数，即检验除了上述m+n-1个基变量以外的空格的检验数判别是否达到最

15、优解，如果已是最优，停止计算，否则转到下一步。 3.确定入基变量和出基变量，找出新的基本可行解。在表上用闭回路法调整。 4.重复2、3直到得到最优解。,21,例10.喜庆食品公司有三个生产面包的分厂A1，A2，A3，有四个销售公司B1，B2，B3，B4，其各分厂每日的产量、各销售公司每日的销量以及各分厂到各销售公司的单位运价如表所示，在表中产量与销量的单位为吨，运价的单位为百元/吨。问该公司应如何调运产品在满足各销点的需求量的前提下总运费最少？ 这是一个产销平衡的运输问题，因此不需要再设假想产地和销地了。,22,一、确定初始基本可行解 为了把初始基本可行解与运价区分开，我们把运价放在每一栏的右上角，每 一栏的中间写上初始基本可行解（调运量）。 1.西北角法：先从表的左上角（即西北角）的变量x11开始分配运输量，并使 x11取尽可能大的值，即x11=min(7,3)=3,则x21与x31必为零。同时把B1的销量与A1的 产量都减去3填入销量和产量处，划去原来的销量和产量。同理可得余下的初始基 本可行解。,3,11,3,10,8,5,10,2,9,4,7,1,23,2.最小元素法 西北角法是对西北角的变量分配运输量，而最小元素法是就近供应，即对单位运价最小的变量分配运输量。在表上找到单位运价最小的x21，并使x21取尽可能大的值，即x21=min(4