《赵树嫄微积分第四版第二章 极限与连续》由会员分享，可在线阅读，更多相关《赵树嫄微积分第四版第二章 极限与连续（135页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章,极限与连续,本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要是连续函数。,第一节 数列的极限,割圆术,我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法-割圆术，就是极限思想在几何上的应用。,(一) 数列概念,割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.,数列的定义,例如,称为无穷数列,简称数列.,(二) 数列极限的定义,问题:
2、,当n无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值? 如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么? 如何用数学语言刻划它?,通过上面图示观察:,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,定义,总存在正整数 N,不等式,记为,或,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),几何解释：,其中：,用数列极限的定义证明极限。,例1,证,例2,证,注：极限的定义只能用来验证某常数是否为某数列的极限，而不能用来计算极限。,(三) 收敛数列的基本性质,性质1 极限的唯一性,性质2 有界性,定理2 收敛的数列必定有界。,注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。,注2 无界数列必定发散。,有界数
3、列不一定收敛.,性质3 收敛数列的保号性,定理3,函数的极限,第二节,(一)自变量趋于无穷大时函数的极限,通过上面图示观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”？,例1,证,几何解释:,例3,解,例2,解,例如,有两条水平渐近线：,水平渐近线:,水平渐近线:,(二)自变量趋于有限点处时函数的极限,3.几何解释:,说明：,例4,证,例5,证,证,得证。,例6,证,得证。,例7,(三)左极限与右极限,左极限：,左极限：,右极限：,解,左右极限存在且相等,例8,例9 设,解,(四)函数极限的性质,性质1 函数极限的唯一性,性质2 有极限函数的局部有界性,推论1,性质3 有极限函数的局部保号性
4、,注意,推论2,定理,第四节 无穷大量和无穷小量,(一) 无穷大量,绝对值无限增大的变量叫无穷大量。,精确定义：,1、无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很大的数混为一谈；,2、称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。,注：,证,得证.,例1,例2,有两条竖直渐近线：,解,所以有水平渐近线：,无穷大量与无界变量的关系,(1) 无穷大量显然是无界变量；,(2) 但无界变量不一定是无穷大量。,例如数列,再如，,但它并不是无穷大量。,(二)无穷小量,定义 以零为极限的函数(或数列)称为无穷小量。,例如,注：,1. 无穷小量是变量，不能与绝对值很小的数混为一谈;,3. 称一个函数是无穷小量，必须
5、指明自变量的变化趋势。,2. 零是唯一可以作为无穷小量的数；,无穷小量和极限的关系：,证略.,定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述.,定理,定理 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。,证,于是有,例3,解,无穷小与有界变量之积仍是无穷小。,(三)无穷小量与无穷大量的关系,意义 关于无穷大量的讨论,都可归结为关于无穷小量的讨论。,例4,例5,解,(四)无穷小量的阶,比值极限不同, 反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同。,观察各极限,定义：,设和是某一极限过程中的无穷小量，,例6,证,例7,证,可推广：,定义,例8,解,例9,解,第五节 极限的运算法则,证略,定理,说明：,1.,有两层意思
6、：,(1) 在limf (x)和limg(x)都存在的前提下，,limf (x)+g(x)也存在；,(2) limf (x)+g(x)的数值等于limf (x)+ lim g(x).,2. limf (x)+g(x)存在, 不能倒推出limf (x)和 lim g(x) 存在.,3. 若limf (x)存在，而 lim g(x)不存在，则limf (x)+g(x)肯定不存在.,4. 可推广到有限多项.,反证：,假设 lim f (x) + g(x) 存在,已知 lim f (x) 存在,由定理知 lim g(x) 存在, 矛盾。,推论1,推论2,例2,例1,如果分母的极限为零，则不能直接运用上
7、述方法。,例3,解,解,例4,消零因子法,有理化方法,解,例5,解,变量代换法,例6,例7,解,一般,“抓大头”法,例8,例9,例10,例11,思考：,例12,解,注意：以下解法错误：,因为法则(1)不能推广到无限多个函数的情形.,解,例13,例14,无穷小与有界变量之积仍是无穷小。,错误！,正确解法：,不存在！,例15,例16,注：所有反三角函数均是有界函数。,第六节 两个重要极限,(一) 极限存在的准则,定理(准则),例1,解,由夹逼定理得,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。,定理(夹逼定理),证略。,定理(准则),单调有界数列必有极限。,下面利用两个准则证明两个重要的极限。,(
8、二)两个重要极限,先利用夹逼准则证明重要极限：,1,基本不等式：,等号当且仅当 x = 0 时成立。,基本不等式：,等号当且仅当 x = 0 时成立。,等号当且仅当 x = 0 时成立。,即得,所以,先证,解,所以,例2,例3,例4,解,再利用单调有界准则证明另一个重要的极限存在：,先看一个实际例子。,考虑一个复利问题。,假设我们考虑1 年定期存款，利率为 100% ，初始存款(称为本金)为 1元 。利率设为100%仅仅是为了便于计算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如5。,若一年结算一次，则年终时本利和为,(1+100%)1 = 2 元；,若半年结算一次，利率降为 50% ，则年终时本利
9、和为,(1+50%)2 = 2.25 元；,若每月结算一次，则年终时本利和为,(1+1/12)12 = 2.61303529 元；,若每天结算一次，则年终时本利和为,(1+1/365)365 = 2.714567 元；,每天结算一次：,(1+1/365)365 = 2.714567 元；,可以想见，若复利一次的时间再细分下去，这个数值会越来越大。问题是，我们的钱会无限增大吗？,答案是否定的。随着 n 的增大，(1+1/n)n 的值虽然不断增大，但增大的速度却变得越来越慢。可以证明，当 n 的无限增大时，(1+1/n)n 值无限接近于一个常数，欧拉把它记为 e。,每小时结算一次：,(1+1/87
10、60)8760 = 2.718128 元；,每分钟结算一次：,(1+1/525600)525600 = 2.718279元；,每秒结算一次：,(1+1/31536000)31536000 = 2.7182817元；,增大，且项数增加一项(每一项均为正),以e为底的对数称为自然对数，,可以证明，相应的函数极限有,或,例5,解,“凑重要极限”法,例7,解,例8,解,例6,解,原式,训练,第七节 利用等价无穷小量代换求极限,定理(等价无穷小替换定理),证,只有在乘、除的极限运算中才能替换；,注意,在其他极限运算中不能替换！,常用等价无穷小：,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,解,错,例5,解,
11、例6,解,例7,解,课堂练习,计算极限：,解答：,分离非零因子,解答：,解答：,第八节 函数的连续性,(一) 函数改变量,(二)函数连续的概念,引例：街头有一卖苹果的小贩，声称“5斤以内10元一斤，5斤以上8元一斤”。有两个顾客，一个人买5斤，花费50元；一个人买6斤，花费48元。买的多的反而花钱少，这是怎么回事？,例1 证明函数y=x2在给定点x0处连续。 证 在x0处，函数的改变量为,所以 y = x2 在给定点x0处连续。,函数在一点处连续的定义,如果,下面给出函数连续的定义的另一种等价形式。,如果,例2,证,（3）函数值与极限值相等.,单侧连续：,定理,例3,解,即不右连续也不左连续
12、,例4,解,连续区间与连续函数：,例5,证,和差化积公式：,例5,证,(三)函数的间断点,定义 函数不连续的点称为函数的间断点。,1、左右极限都存在的间断点，称第一类间断点：,(1) 可去型间断点,例1 讨论函数,解,注意 可去型间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点。,例2,1,函数,(2) 跳跃型间断点,例3,解,例4,解,2、左右极限至少有一个不存在的间断点,称第二类间断点。,例5,解,这种情况称为振荡型间断点。,解,例6,解,所以,即,例7,(四)连续函数的运算法则,定理,由连续的定义和极限的运算法则，定理不难获得证明。,例如,可以证明，所有基本初等函数在其定义域
13、内都是连续的。,因此，一切初等函数在其定义域内都是连续的。,也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。,(五)闭区间上连续函数的性质,定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且能取得最大值和最小值。,记作,注意：1. 若区间是开区间, 定理不一定成立;,2. 若区间内有间断点, 定理不一定成立。,几何解释：,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。,几何解释：,定义,定理3(零点定理),证,例8,可计算出,由于三次方程最多只有三个实根，所以各区间内只存在一个实根。,例9,证,且有,异号，,课堂练习,证,且有,异号，,(六)利用函数连续性求函数极限,根据函数连续性的定义及初等函数的连续性，我们可以方便地求初等函数的极限。,例10,解,所以连续，因此,初等函数求极限的方法：代入法。,例11,例12,解,思考：,对数换底公式,例13,解,类似可得,例14,解,等价无穷小替换,END,END,
