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1、第四章 向量组的线性相关性,1 向量组及线性表示,目的要求,（3）理解向量的线性组合、线性表示概念；,（1）了解向量概念；,（2）掌握向量加法、数乘运算法则；,（4）掌握线性方程组与线性表示的关系.,一、n 维向量的概念,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,默认为实向量,1.定义：,例如,n维实向量,n维复向量,第1个分量,第n个分量,第2个分量,2、n 维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行,维向量写成一列，称为列向量，也就是列,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；,当没有明确说明是行向量
2、还是列向量时，都当作列向量.,3、向量的几何意义：,d. 四维以上向量集合，无具体几何意义.,叫做 维向量空间,叫做 维向量空间 中的 维超平面,a. 一维向量集合-,数轴；,b. 二维向量集合-,平面；,c. 三维向量集合-,空间；,4.特殊向量（与矩阵类比可知）,a. 零向量：,b. 负向量：,c. n 维单位坐标向量组：,思考题,比如一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用,在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述.,比如平均成绩、总学分等，维数还将增加,答 36
3、维的,如果我们还需要考察其它指标，,5.向量组：,若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组.,行向量组,列向量组,默认为列向量组,有限个向量,无限个向量,先讨论有限个向量,m个n维列向量构成向量组,称为向量组,，或者称为向量组A,或者称为向量组,6.有限个向量的向量组与矩阵一一对应,行向量组,列向量组,7、线性方程组的向量表示：,线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对应,二、向量的运算,转置、相等、加法、数乘、乘法；运算律,例：设,求,（特殊矩阵）,解,三、 线性组合与线性表示,定义,，对于任何一组实数,给定向量组,，称向量,为向量组A的线性组合.,，称为,线性组合的系数.,若不存在系数,给定向
4、量组A：,若存在一组系数,使得,成立，则称,和向量,使（*）成立,能否线性表示，只需看,注：,能找到实数组,能表示；,是否成立,举例：,（1）,零向量,线性表示；,（2）,能由,线性表示；,（3）,中任何一个向量,线性表示；,都能由,能由,(4) 设,解：设,不存在,线性表示判定方法,向量,有解；,其中,能由,线性表示,解一：设,(5) 设,，且表示方式唯一,解二：设,(5) 设,已知向量,向量组,问向量b能否由向量组 A 线性表示?,(6) 设,解：设,因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.,证明：向量b 能由向量组,并求出表示式.,线性表示，,(7) 设,证明 令,故方程,即,的解为,
5、四、向量组的线性表示与等价,定义,两个向量组,若向量组 B 中每个向量都可由向量组A 线性,表示，则称向量组B 能由向量组 A 线性表示.,若向量组 B 与向量组 A 能相互线性表示，,则称向量组 B 与向量组A等价.,使得,存在数,向量组B 能由向量组A 线性表示，即对每个向量,若记,从而,矩阵,称为线性表示的系数矩阵,向量组B 能由向量组A 线性表示,B 中每个向量都可由向量组A 线性表示,存在系数矩阵K，使得B=AK,矩阵方程AX=B有解,R(A)=R(A,B),向量组B 与向量组A 等价,矩阵方程AX=B和BY=A都有解,R(A)=R(A,B)=R(B),举例,能由,但不等价.,线性表
6、示，,(1),与,等价.,(2),已知向量组,证明：向量组A与向量组B等价.,和,(3),证：令,因此向量组A与向量组B等价.,证：,(4),五、矩阵乘法与向量组的线性表示关系,说明：矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，表示的系数矩阵为B.,说明：矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，表示的系数矩阵为A.,六、矩阵等价与向量组等价关系：,七、方程组的线性表示与等价：,已知方程组A和方程组B，,对方程组A的各个方程做线性运算得到的方程,称为方程组A的一个线性组合；,若方程组B的每个方程都是方程组A的线性组合,就称方程组B能由方程组A线性表示，,都是B的解；,此时A的解,若方程组A与方程组B能相互线性表示，,两个方程组等价；,就称这,等价的方程组一定同解.,八、与方程组有解等价的命题,线性方程组 有解,向量b能由向量组,线性表示,向量组,与,向量组,等价,矩阵,矩阵,与,秩相等,
