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1、第二章关键词： 随机变量 分布函数 离散型随机变量 分布列 连续型随机变量 密度函数 数学期望 方差 常见分布 随机变量函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,(重点讨论二维随机变量),本章内容是第二章内容的推广,本章主要内容：以身高 X、体重 Y 为例 P(1.65X 1.7, 50Y65)= ?联合分布 P(1.65X1.7)= ?边际分布 已知 X = 1.65，求 Y 的分布条件分布 X 和 Y 之间的关系 ：是否独立 是否有线性关系协方差与相关系数 随机向量函数的分布,关注的问题： 一维与多维随机变量的“共性” 多维随机变量的“特性”,3
2、.1 多维随机向量及其联合分布,一、多维随机变量的概念,定义1 设是随机试验 E 的样本空间， 是定义在上的n 个随机变 量。将其构成一个n 维有序数组 称 X 为n维随机变量(或称随机向量)，Xi 称为X的第i 个分量。,n 维随机向量的联合分布函数,定义 称 n 元函数,为随机向量X=(X1, X2, , Xn) 的联合概率分布函数 (joint distribution function)，简称为分布函数或联合分布。,二、二维随机向量及其分布函数,二维随机变量（X,Y）的联合分布函数,1、联合分布函数的几何意义,如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v.,(X , Y )的一组可能
3、的取值，则 F (x, y) 表示,(X , Y ) 的取值落入图所示的区域中的概率.,2、联合分布函数的性质,(1) (单调性)对每个变量单调不减,(x, y),F (x , y) = F (x+ 0 , y ),F (x , y) = F (x , y + 0 ),(3) (右连续性)对每个变量是右连续的,注：这一性质是多维随机向量所特有的。,(4)(非负性)对于任意 a b , c d,反例,设,讨论 F (x, y) 能否成为二维随机向量的分布函数？,解,x+ y = 1,故 F(x, y) 不能作为某二维随机向量的分布函数.,三、二维离散型 r.v.及其联合分布列,若二维 r.v.
4、(X ,Y ) 所有可能的取值(数对)为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.。,1、联合分布列定义与性质,定义 设 ( X ,Y ) 的所有可能的取值为,则称,为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合分布列.,x1 xi,X,Y,( X ,Y ) 的联合分布列,y1,yj,1,性质,例 设随机变量X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y 在1X 中等可能地取一整数值，试求 (X, Y) 的分布律。,解 可能取值为,由乘法公式，得：,四、二维连续型 r.v.及其联合分布密度,1、定义 设二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数为 F
5、(x ,y ), 若存在非负可积函数 p(x,y) , 使得对于任意实数 x , y 有,则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. p (x, y) 为( X ,Y ) 的联合密度函数.,2、联合密度的性质,注1:,在 的连续点处,(1)非负性,(2)正则性,注2:,若G 是平面上可度量的区域，则,注记,P( X = a ,- Y + ) = 0,P(- X + , Y= a ) = 0,P( X = a ,Y = b ) = 0,若G 是平面上面积为零的区域，则,例如：,例 设(X,Y)的联合密度如下,试求 (1) P(X1). (2) P(XY) .,解,解,例 教材144页习题 3.
6、1 第7题（4）问,解：当 x 0 或 y 0 时，,当 0 x 1 且 0 y 1 时，,当 0 x 1 且 y 1 时，,当 x 1 且 0 y 1 时，,当 x 1 且 y 1 时，,五、常用多维分布,1、多项分布（二项分布的推广）,记 Xi 为n次独立重复试验中Ai出现的次数， i=1,2,r, 则A1出现n1次， A2出现n2次, Ar出现nr次的概率为,定义 n重独立重复试验中, 每次试验有r个可能结果 ，每次试验中 Ai 发生的概率为 P (Ai) = pi , i=1,2,.,r, 且,称此分布列为多(r)项分布, 记为,2、多维均匀分布,若 G 为 n 维欧氏空间中的有限区域
7、，其测度 S 0；则由密度函数,给出的分布称为 G 上的均匀分布。,则 G D, 设 G 的面积为SG ,注 若( X ,Y )服从区域 D 上的均匀分布,即(X,Y)落在D中某一子区域G 内的概率与G 的面积成正比而与G 的位置和形状无关.,例 设 (X ,Y ) G 上的均匀分布,p ( x, y ); P ( Y X 2 )。,求,解 (1),(2),若二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度为,则称( X ,Y ) 服从参数为1, 1, 2, 2, 的正态分布, 记作 ( X ,Y ) N(1,12;2,22; )。,其中1,20, -1 1 ., 二元正态分布 ,注：参数 刻画了X和 Y 之间的一种关系。,二维正态分布图,二维正态分布剖面图,正定二次型,其中,引入,则, 多元正态分布 ,给出的分布称为 n 元正态分布，简记为 N (a, B)。,若 B(bij) 是 n 阶正定对称矩阵，以 表示 B 的逆阵；det B 表示 B 的行列式的值。a=(a1, , an) 是任意实值行向量，则由密度函数,作 业,习题3.1 3、4、9、10,
