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1、,物体位置总是伴随着时间的流逝而连续地变动。因而,我们可用有关连续函数的数学理论:微分、积分学作为工具来研究物体的运动。,质点运动学是研究质点位置随时间而改变的运动规律的理论。,本章主要内容有: 基本概念:参考系、坐标系、质点、刚体 基本物理量:位置矢量、位移、速度、加速度等 几种运动:直线运动、抛体运动、圆周运动等 两类基本问题:微分问题、积分问题,1.1 参考系 坐标系 物理模型,1.1 参考系 坐标系 物理模型,选取的参考系不同,对物体运动情况的描述不同,这就是运动描述的相对性。,为描述物体的运动而选择的标准物叫做参照系。,1.1.1 参照系(Reference System),1.1.
2、2 坐标系(Coordinate System),引入坐标系的必要性: 定量地描述物体相对于参照系的运动。,物理学中常用的坐标系: 直角坐标系、球坐标系、极坐标系、自然坐标系等,研究某一物体的运动,如果可以忽略其大小和形状,或者不涉及物体的转动和形变,就可以把物体当作是一个具有质量的点(即质点)。,1.1.3 物理模型,可以将物体简化为质点的两种情况:,(1) 物体不变形,不作转动(平动)。,(2) 物体本身线度和它活动范围相比小得很多。,1)质点(Particle, Mass Point),R地球 6.4102km,地球绕太阳公转时地球可视一个质点。,研究地球的自转问题时,就不能把地球看作质
3、点。,刚体:在外力作用下,形状和大小都不发生变化的物体。,2) 刚体 (Rigid Body ),刚体也可定义为: 在运动过程中物体内部任意两个质点间的距离保持不变的物体。,强调:质点和刚体都是理想的模型,都是实际物体在一定条件下的抽象。,即:刚体是一个内部各质点相对位置保持不变的质点系。,1.2 描述运动的物理量,运动学的第一个问题就是描述质点的空间位置。,选择参照系,,选择一个参照点,标记为O。,连接O 与此时被考察质点的位置P,1 ) 位置矢量 (Position Vector ),*,位矢 的大小为,确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量, 简称位矢 。,式中 、 、 分
4、别为 x、y、z 方向的单位矢量。,(x, y, z),1.2.1 位矢和运动方程,在直角坐标系中:,位矢 的方向余弦:,P,2) 运动方程,运动方程:质点位置坐标随时间变化的函数关系。,cos2 + cos2 + cos2 = 1,它包含了质点运动的全部信息。,例:斜抛运动,分量(投影)式:,例: 匀速率圆周运动:,从中消去参数 得轨迹方程。,在直角坐标系中,运动方程为:,1) 位移(Displacement ),1.2.2 位移和速度,S,位移的大小为:,若质点在三维空间中运动,则在直角坐标系 中其位移为:,路程( ):质点实际运动轨迹的长度。,A) 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径
5、无关,只决定于质点的始末位置。,B)反映了运动的矢量性和叠加性。,2) 速度(Velocity ),(1)平均速度,在 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为,时间内, 质点的平均速度:,平均速率:,是标量。,显然:,(2) 瞬时速度(Instantaneous Velocity ),当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速度。,方向:为 的极限方向,当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。,质点在三维空间中运动,其速度为:,在直角坐标中:,速度的大小为:,速度 的大小为:,当 时,,,瞬时速率为 t 0 时平均速率的极限,简称速率。,速度的大小等于
6、速率!,例: 设质点的运动方程为 其中 求:1) 时的速度。2) 质点的轨迹方程。,解: 1)由题意可得速度分量分别为:,速度 与 轴之间的夹角:,速度的大小为:,(2) 运动方程:,由运动方程消去参数 可得轨迹方程为:,1) 平均加速度,与 同方向。,单位时间内的速度增 量即平均加速度。,2)(瞬时)加速度,1.2.3 加速度(Acceleration),加速度的方向:t0时速度增量的极限方向; 在曲线运动中,总是指向曲线的凹侧。,加速度大小为:,在直角坐标系中,加速度的表示式为:,质点运动学两类基本问题,一、 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度;,二、 已知质点的加
7、速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 。,一、 已知质点的运动方程,可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度;,二、 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 。,例:一质点作直线运动,其加速度为一常量 a0 ,已知在 t = 0 时刻,x = x0, v = v0,试求: 1)速度与时间的关系;2)位置与时间的关系; 3)速度与位置的关系。,解:1),2),注意:这都是匀加速直线运动公式,它们不具有一般意义!,(变量变换),(分离变量),(两边同时积分),3),例:质点沿 x 轴作直线运动,加速度 a = 2t 。t = 0 时, x = 1m,
8、v = 0,求:任意时刻质点的速度和位置。,解:,质点作非匀加速的运动。,积分:,即有:,可得:,1.3 坐标系的运用,1.3.1 直角坐标系,1.3.2 自然坐标系,切向单位矢量,法向单位矢量,s,速度方向为切向坐标方向;指向曲率中心的方向为法向坐标方向(与速度的方向垂直)。,O.,在已知运动轨道上任取一参照点 O,由质点与参考点之间轨迹的长度 s 来表示质点的位置。,S为弧坐标。,运动方程:s = s (t),轨迹上各点处,自然坐标轴的方位不断变化。,速率:,速度:,例:一质点作匀速率圆周运动,半径为 r ,角速度为 。求:质点的运动学方程。 1)用直角坐标、位矢表示;2)用自然坐标表示。
9、,以圆心O 为原点。建立直角坐标系Oxy ,O 点为初始位置,,用位矢表示为:,用自然坐标表示为:,解:,质点的运动学方程为:,1),2),设 t 时刻质点位于 P(x , y),,加速度由两项组成,分别反映了速度大小变化和方向变化。,一般曲线运动的加速度,第一项,叫切向加速度,,方向:,大小:,写成:,(沿切向),曲率圆,速度:,第二项,叫法向加速度,,切向单位矢量的时间变化率:,写成:,总加速度:,法向加速度:,为曲率半径。,大小:,方向:,(沿法向),1)一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心;,2)在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线 凹的一侧。,大小:,加速度:,方向:,说明:,
10、1)质点运动时,如果同时有切向加速度和法向加速度,这就是一般的曲线运动;,2)如果只有切向加速度,没有法向加速度,,3)如果只有法向加速度,没有切向加速度,,则质点作变速率直线运动;,则质点作匀速率曲线运动。,大小:,方向:沿半径指向圆心。,曲线运动的 加速度小结:,法向加速度:,总加速度的大小:,大小:,方向:沿轨道切线方向。,切向加速度:,方向:,例:一汽车在半径 R = 200 m 的圆弧形公路上行 驶,其运动学方程为 s = 20 t - 0.2 t 2 (SI)。 求:汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。,在自然坐标系中,,解:,t = 1 s 时:,解:,t = 1s 时
11、,例:已知质点在水平面内运动,运动方程为: , 求:t = 1s 时的 切向加速度、法向加速度和轨道曲率半径。,圆周运动 (Circular Motion) 的角量描述,角坐标:,(约定:逆时针为正),角位移:,运动方程:,1、 角坐标与角位移,角速度,2、 角速度 (Angular Velocity ),角量与线量的关系:,角加速度:,3、 角加速度 (Angular Acceleration ),方向:角速度矢量 的方向垂直于质点运动的平面,其指向由右手螺旋定则确定。,角速度矢量,可以得出,质点的线速度 等于角速度 与质点位矢 的矢量积:,圆周运动的角量与线量的关系:,例 :质点作半径为R
12、的圆周运动,其速率满足 (k为常数),求:切向加速度、法向加速度和加速度的大小。,解:,切向加速度:,法向加速度:,加速度:,匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动,1)匀速率圆周运动:速率 和角速度 都为常量。,2) 匀变速率圆周运动:,如 时,常量,例:一飞轮受摩擦力矩作用做减速运动,其角加速度与 成正比,比例系数 k 0。当 t = 0, =0 , = 0。求: 1)角速度作为的函数表达式; 2)最大角位移。,解:1),2),当 = 0 时,,1.4 运动学的两类基本问题,一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度;,二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速
13、度及其运动方程 。,一 已知质点的运动方程,可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度;,二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 。,例:一质点作直线运动,其加速度为一常量 a0 ,已知在 t = 0 时刻,x = x0, v = v0,试求: (1)速度与时间的关系;(2)位置与时间的关系;(3)速度与位置的关系。,解:(1),(2),注意:这都是匀加速直线运动公式,它们不具有一般意义!,(变量变换),(分离变量),(两边同时积分),(3),1.5 相对运动,我们知道对运动的描述具有相对性,即同一物体在不同参照系中运动状态的描述结论可能不一样。现在我们要问:不
14、同参照系上的观察者对运动状态描述结果之间的关系如何 ? 由于不同观察者可以选取不同参照系,所以弄清楚不同参照系上的观察者,对运动描述结果之间的关系是很重要的。,可是,关于相对运动的问题却并不象看上去那么简单,它牵涉到物理学最基本的问题之一,即时间和空间的基本属性。,一、 时间与空间,在两个相对作直线运动的参考系中, 时间的测量是绝对的,空间的测量也是绝对的, 与参考系无关, 时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础。,A,B,小车以较低的速度 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B。地面上人测得车通过 A、B 两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同。,速度变换:,位移关系:,质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移,S 系 系,伽利略速度变换:,加速度关系,绝对速度,相对速度,牵连速度,