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1、第6章 二维油藏的数值模拟方法,二维单相流的数值模拟方法 二维油水两相流的数值模拟方法,第一节 二维单相流的数值模拟方法,一 、数学模型 1. 假设条件 1) 符合达西渗流定律 2) 等温渗流 3) 单相流体流动 4) 二维(x,y)平面流动 5) 岩石不可压缩，流体微可压缩 6) 油藏非均质和各向异性 7) 不考虑重力,(1),2. 质量守恒方程,由三维单相质量守恒方程逐步简化到上述假设条件。,1) 三维单相非均质油藏可压缩流体和岩石,2) 二维(x,y)单相非均质油藏各向异性，可压缩流体和岩石,3) 二维(x,y)单相非均质油藏各向异性，岩石不可压缩，流体微可压缩,I.C,假设矩形或正方形
2、边界的油藏中有一口或若干口井生产或注入，求油藏中的压力分布。 3. 初始条件和边界条件,定压,封闭,B.C 1) 外边界,定产,定流压,2) 内边界,式中点源函数 0 网格块中无井 1 网格块中有井,Pwf或Piwf,可求以下问题： 1. 定压外边界条件下 1) 内边界定产，求不同时间的油藏内压力分布和井底流压。 2)内边界定流压，求不同时间的油藏内压力分布和产量。 2. 封闭外边界条件下 1) 内边界定产，求不同时间的油藏内压力分布和井底流压。 2) 内边界定流压，求不同时间的油藏内压力分布和产量。,二、差分方程组的建立 1. 对（1）式左端第一项进行二阶差商,令,则,(2),(3),（4）
3、,2. 对（1）式左端第二项进行二阶差商 同（2）式可得,3. 对（1）式右端进行一阶差商,则差分方程组为 （2）（3）qv（4）,（5）,两端乘以,令,得隐式差分方程组为,若采用行标准排列,其中Nx为x方向的网格数 令,(6),则（5）式可写为,三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组,1. 外边界定压、内边界定产 假设取点中心网格。x方向为Nx个网格,y方向为Ny个网格.,1) 由于外边界定压，则边界压力可以不进行计算，只要计算内部各个节点（Nx-2）（Ny-2）的压力,2) 计算,3) 计算,k从内部节点按行标准排列开始算。,4) 列出系数矩阵方程，解五对角系数矩阵方程可得P。 5)
4、已知Qv，可利用产量方程求出Pwf。若各向同性，正方形网格，其产量公式为：,2. 外边界定压，内边界定流动压力。 网格取法同1。,1) 由于外边界定压，则边界压力可以不进行计算，只要计算内部各个节点（Nx-2）（Ny-2）的压力,2) 计算,Pi,j有两种处理方法,用n时刻的数值，即 为已知，称为显式处理，Qv 为 已知。,用n+1时刻的值，即 为 未知值，称为隐式处理。需将产量部分系数的未知数放到方程左边，已知数放在方程右边。,令,3) 计算,4) 列出系数矩阵方程，解五对角系数矩阵方程可得P。 5) 已知Pi,j和Pwf，可利用产量公式计算Qv。,3. 外边界封闭，内边界定产,假设取块中心
5、网格。x方向为Nx个网格, y方向为Ny个网格。,即,即,1) 外边界封闭处理方法,根据达西定律，网格块之间的流动速度,因此有两种方法处理封闭边界。,为此在边界外虚拟一圈网格，并令其与边界网格压力 值相等。,加上虚拟网格后，总节点数为(Nx+2)(Ny+2) ，需求 的节点数为NxNy 。,在虚拟网格中假设,当网格间用调和平均取 时，则为零，因此,2) 计算,3) 计算,4) 列出系数矩阵方程，解五对角系数矩阵方程可得P。 5) 已知Qv，可利用产量方程求出Pwf。,4. 外边界封闭，内边界定流压,网格取法和边界条件表达式同3。 1) 外边界封闭的处理方法同3。 2) 计算,3) 计算,4)
6、列出系数矩阵方程，解五对角系数矩阵方程可得P。 5) 已知Pi,j和Pwf，可利用产量公式计算Qv。,四、计算框图,程序三,已知：正方形地层中心有一口井，其油藏和生产参数如下： 要求：编制二维单相流数值模拟计算程序，分别计算四种内外边界条件下的压力分布及定井底流压下的产量和定产量下的井底流压。 取,第二节 二维油水两相流的数值模拟方法,一 、数学模型 1. 假设条件 1) 符合达西渗流定律 2) 等温渗流 3) 油水两相流动，油水两组分，油组分仅在油相中，水组分仅在水相中 4) 二维(x,y)平面流动 5)岩石和流体均可压缩 6) 油藏非均质和各向异性 7) 考虑毛管力，不考虑重力,2. 组分
7、质量守恒方程,1) 三维油水两相两组分,2) 二维(x,y)油水两相两组分,3. 辅助方程,3. 初始条件和边界条件 假设矩形或正方形边界的油藏中有一口或若干口井生产或注入，求油藏中的压力和饱和度分布。,I.C,B.C 1) 外边界,定压,封闭,2) 内边界,定产,式中 点源函数 定流压,Pwf 或 Piwf 可求不同内外边界条件下，不同时间的油藏内压力和饱和度分布和井底流压（定产）或产量（定流压）。,式中,令,则,二、差分方程组的建立,1. 方程（1）、（2）的右端项,其中 平均油藏压力,其中,对（5）、（6）式进行一阶差商,（7）,（8）,(9),2. 方程（1）、（2）左端项,令,代入方
8、程（1）的左端项,（9）qo（7） （10）,3. 油组分方程（1）的差分形式为：,两边同乘以,令,(11),（10）式可写为：,经整理得：,(12),4. 水组分方程（2）的差分形式为：,为了IMPES方法书写简便,令,（13）、（14）中有四类未知数Po 、Pw 、So 、Sw，采用IMPES方法，首先建立隐式压力方程，然后建立显式饱和度方程。,三、隐式压力方程的建立,1. 思路 1) 乘以适当的系数，合并（13）（14）式以消除SW，SO得到只含变量PO，PW的压力方程。 2) 由毛管压力公式PC=PO-PW，得到只含变量PO的压力方程。 3) 达西系数项及毛管压力采用上一时间值，因此可
9、得只含变量PO的线性 代数 方程组。 4) 解线性代数方程组后，求得 ，再求 5) 将 代入方程（14），则可显式求得 。,(15),2. 具体算法,令,A. (14)+(13) 得到Po 、Pw 方程,(16),若用 代入（15）中，则可得到 方程。,式中,由（16）式根据不同的内外边界条件，解五对角系数矩阵方程，可得 ，然后求得,四、显式饱和度方程的建立,（17）,式中,求得 后，即可计算,将 代入方程（14），可得,五、计算框图,打印T，Po,Sw,TT+t,解 然后计算,解 然后计算,接上页,Y,N,六、计算实例,1. 假设条件 1) 不可压缩岩石和可压缩流体，油水密度相等，常数，常数
10、，o= w= 。 2) 油藏均质和各向同性，即 kx=ky=k=常数 3) 不考虑毛管力，即 Po=Pw=P 4) 取反五点井网的四分之一， 包括一口注水井和一口生产井， 即边界为封闭。 求解已知Piwf、Pwf下， 油藏中的压力和饱和度分布。,2. 数学模型 1) 组分质量守恒方程 油组分 水组分 2) 辅助方程 3) 初始条件和边界条件 I.C,B.C 1) 外边界 2) 内边界 定流压 Piwf Pwf 3. 差分方程组的建立 1) 隐式压力方程组 见方程（16），但其中Po=P 2) 显式饱和度方程 见方程（17），但其中gwij中的Pwij为Pij。,封闭,4. 边界条件的处理 根据假设，外边界封闭，内边界定流压，其处理方法见第一节三中的4。 5. 程序框图 见本节五,程序四,已知：反五点四分之一井网中一口注入井和一口生产井，其油藏和生产参数如下： 油水相对渗透率数据如下表：,要求：编制二维两相流数值模拟计算程序，计算定井底流压条件下的压力和饱和度分布和注入井的注入量和生产井的日产量。 取,
