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1、第 6 章 统计量及其抽样分布,第 6 章 统计量及其抽样分布,6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布 6.6 两个样本平均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布*,6.1 统计量,一、概念 二、常用统计量 三、次序统计量* 四、充分统计量*,总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的 可以假定它服从某种分布,总体分布 (population distribution),一个样本中各观察值的分布 也称经验分布 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布,样本分布 (sa
2、mple distribution),统计量 从总体上抽取样本后，利用样本信息构造不同的样本函数，而此函数不依赖于任何未知参数（通过样本即可得出） 样本函数称为统计量,例：X1、X2Xn是从某总体X中抽取的一个样本，则 样本均值 样本方差 则， 都是统计量,常用统计量,矩：总体或样本的信息（如期望、方差）；阶：次方 常用统计量,次序统计量,X1、X2Xn是从某总体X中抽取的一个样本，则 X(1)、X(2)X(n)按从小到大顺序排列，则称为次序统计量 R(n)= X(n) X(1)，称为极差,学习目标,充分统计量：不损失样本信息的统计量 例6.2,6.2 关于分布的几个概念,一、抽样分布 二、渐
3、近分布 三、随机模拟获得的近似分布,样本统计量的概率分布 是一种理论概率分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布 (sampling distribution),在正态总体下，可以得到精确的抽样分布（能导出统计量的数学表达式） 三大分布：,渐近分布 n趋向于无穷大时，样本统计量的极限分布，如,随机模拟 一次样本容量为n,这样的样本抽取N次，看其统计量（如均值）的分布形态。,6.3 由正态分布导出的几个重要分布,设随机变量 相互独立，且 服从标准正态分布，则
4、它们的平方和 服从自由度为n的,特征 数学期望E（ ）n 方差D（ ）2n 具有可加性 随着n增大，趋向于正态分布 当n很大时（45）， 服从N（ ）,t分布 XN(0,1), Y2(n)，则 服从自由度为n的t分布,当n30时，与正态分布非常相似,F分布 Y，Z相互独立，分别服从自由度为m和n的2分布，则随机变量X的如下表达式 称为X服从第一自由度为m,第二自由度为n的F分布，记作 F（m,n）,总结 标准正态分布的平方为2分布 标准正态分布与2分布（平方根除以n）的比为t分布 两个2分布（除以各自的自由度）的比为F分布,第四节 样本均值的分布与中心定理,容量相同的所有可能样本的样本均值的概
5、率分布 一种理论概率分布 进行推断总体总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布 (例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,样本均值的抽样分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,样本均值的抽样分布 (例题分析), 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值的抽样分布 与
6、中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为，方差为2/n。即XN(,2/n),中心极限定理 (central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体（可能不是正态分布）中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,中心极限定理 (central limit theorem),的分布趋于正态分布的过程,抽样分布与总体分布的关系,样本均值的数学期望 样本均值的方差,样本均值的抽样分布 (数学期望与方差),接上例,比较及结论：1. 样本均
7、值的均值(数学期望) 等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n,例6.4：从均值10，标准差0.6的总体中随机选取容量为36的样本。要求： 计算样本均值小于9.9的近似概率 计算样本均值超过9.9的近似概率 在总体均值0.1范围内的近似概率 例6.5 汽车电瓶商声称其电瓶具有均值60个月，标准差6个月的寿命分布。抽查50个电瓶进行试验 若正确，描述50个电瓶平均寿命的抽样分布 若正确，则50个寿命不超过57个月的概率。,答案,答案,第四节 样本比例的抽样分布,总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比
8、 总体比例可表示为 样本比例可表示为,比例 (proportion),容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布 当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 一种理论概率分布 推断总体比例的理论基础,样本比例的抽样分布,样本比例的数学期望 样本比例的方差,样本比例的抽样分布 (数学期望与方差),X为随机变量，C为常数，CX分布与X相同；E（X），D（X）2，E（CX）C，D（CX）C22。,样本比例的抽样分布 (数学期望与方差),例6.6 XN（9，22），试描述10X的抽样分布。 例6.7 某统计员在其填写的报表中有2%至少会有一处错误，检查一个由600份报表组成的随机样本，至少有
9、一处错误的报表所占比例在0.0250.070之间的概率有多大？,样本比例的抽样分布 (数学期望与方差),答案,第六节 两个样本均值之差的抽样分布,两个总体都为正态分布，即 ， 两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差 方差为各自的方差之和,两个样本均值之差的抽样分布,两个样本均值之差的抽样分布,当 n1和n2都较大时（都大于30），则 不管总体如何，都可以用正态分布来近似。 例6-8：甲、乙两所高录取新生分数，甲平均分655分，标准差20分，乙平均分625分，标准差25分，都服从正态分布，从两校随机选取8名新生，甲校小于乙校的可能性多大。,两个样本均值之差的
10、抽样分布,两个样本均值之差的抽样分布,答案,两个样本比例之差,两个样本比例之差的抽样分布,例6-9：调查表明甲城市消费者中有15%喝过商标为“圣洁”牌矿泉水，而乙城市的消费者中只有8%的人喝过该种矿泉水。如真实，分别从甲城市抽取120人，乙城市抽取140人组成独立随机样本，比例差不低于0.08的概率为多少。,两个样本均值之差的抽样分布,答案,第七节 两个样本方差的抽样分布*,总体分布为 ,样本方差下列分布服从自由度为n-1的卡方分布,两个样本方差比的抽样分布,两个总体都为正态分布。 X1，X2， ，Xn1 是来自X1N(1,12)的一个样本， Y1，Y2， ，Yn2是来自X2N(2,22 )的一个样本。 从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本 两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)，分母自由度为(n2-1) F分布，即,本章小结和作业,小结 总体分布、样本分布、抽样分布 单总体参数推断时样本统计量的分布 双总体参数推断时样本统计量的分布 作业 练习题1和2（自己练习，不上交）,结 束,
