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1、第五节 随机变量函数的分布 &习题课,一、离散型随机变量 二、连续性随机变量 三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,一、离散型分布的情形,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,解：依题意,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r=0,1，,例3 设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,不需要计算的另一种证法:,
2、Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).,例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度.,解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,二、连续型分布的情形,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ
3、 (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,教材P91页例3.5.2请自已看. 注意此例的结论：,有限个独立正态变量的线性
4、组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,正态分布的可加性,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有,分析：,P(Mz)=P(Xz,Yz),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,下面进行推广,
5、即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1- P(Xz)P(Yz),设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,N=min(X1,Xn)的分布函数是,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n,与二维情形类似，可得:,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研
6、究极值分布具有重要的作用和实用价值.,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n),记1-p=q,例6 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,小结,二维随机变量的分布：,离散型,i, j =1,2, ,小结,连续型,边缘分布,离散型,i, j =1,2, ,对连续型随机变量(X,Y)，,X的边缘密度函数为,Y的边缘密度函数,二维随机变量独立性,若,则称事件A,B 独立 .,则称X和Y相互独立.,即,
7、离散型,则称X,Y相互独立 .,对任意的 x, y, 有,连续型随机变量,分别是X和Y 的边缘密度,设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数.,条件分布,离散型r.v的条件分布,连续型r.v的条件密度函数,则对任一集合A，,离散型分布的情形,若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,随机变量函数的分布,Z=X+Y,设X和Y的联合密度为 f (x,y), 则Z=X+Y的密度.,连续型分布的情形,当X和Y独立，,这两个公式称为卷积公式 .,Z=X+Y,二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的r.v，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),即有 FM(z)= FX(z)FY(z),FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有,类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),
