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1、第三章 平面任意力系,3 平面任意力系,平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡静定和超静定问题,3.1.1 力线平移定理,定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,3.1 平面任意力系向作用面内一点简化,说明：,MO,3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面汇交力系力，FR (主矢，作用在简化中心),平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上),平面
2、任意力系,平面汇交力系+平面力偶系,其中平面汇交力系的合力为,平面力偶系的合成结果为,平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。,3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。,3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。,一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为
3、固定端或插入端支座。,3.1.3 平面固定端约束,MA,FAy,FAx,FA,MA,3.1.4 平面任意力系简化结果分析,四种情况：(1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO0,(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形,原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。,四个力是否平衡？,FR0，MO0,3.1.4 平面任意力系简化结果分析,(2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理,如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。,如果主矢和主矩均不
4、等于零，此时还可进一步简化为一合力。如图,d,FR,FR,MO,结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。,3.1.4 平面任意力系简化结果分析,FR,从图中可以看出,所以,由主矩的定义知：,简化中心：A点,主矢,思考：三角形分布载荷处理？,主矩,简化最终结果,R=,分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。,结论： 1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心
5、。,3.1.5 平行分布线荷载的简化,1、均布荷载,2、三角形荷载,3、梯形荷载,可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加,例 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离 单位cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？ 2、力系简化最后结果。,解：,1、建立坐标系,x,y,2、X=Fx=P3 =200N,Y=Fy=P1+ P2 =100+50 =150N,主矢, =36.9,A,B,C,x,y,2、简化最终结果,LA =,mA,主矢,主矩,最终结果,合力,大小：,方向: =36.9,位置图示：,方向：, =36.9,在A点左还是右？,3.2 平面任意力系的平衡条件
6、和平衡方程,3.2.1 平衡条件,平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即,3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,3.2. 2 平衡方程,即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。,由于,所以,解：以刚架为研究对象，受力如图。,解之得：,例1,例1 求图示刚架的约束反力。,A,P,a,b,q,P,q,FAy,FAx,MA,例2,例2 求图示梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之得：,P,q,m,FB,FAy,FAx,
7、(1) 二矩式,其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。,由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。,3.2.3 平衡方程的其它形式,(2) 三矩式,其中A、B、C三点不能在同一条直线上。,注意： 以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。,由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。,例3,例3 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P
8、1.2 kN，拉杆CB的倾角a30，质量不计，载荷Q7.5 kN。求图示位置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。,例3,解：取横梁AB为研究对象。,P,Q,FT,FAy,FAx,a,a,从(3)式解出,代入(1)式解出,代入(2)式解出,例3,C,如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得,有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,5,力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。,平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则Fx0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：,平面平行力系的平
9、衡方程也可表示为二矩式：,其中AB连线不能与各力的作用线平行。,3.2.4 平面平行力系的平衡方程,F2,F1,F3,Fn,例4 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？,限制条件：,解： 首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的Q：,空载时，W=0,由,限制条件为：,解得,因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：,解得:,求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：,解得：,由若干个物体通过约束所组成的系统称为
10、物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。,3.3 物体系的平衡静定和超静定问题,在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数
11、。,3.3 物体系的平衡静定和超静定问题,静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。,静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）,判断各图的超静定次数,例5,例5 求图示三铰刚架的支座反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,可解得：,FAx,FAy,FBx,FBy,例5,再以AC为研究对象，受力如图。,解得：,FAx,FAy,FCx,FCy,例6,例6 求图示多跨静定梁的支座反力。,解：先以CD为研究对象，受力如图。,再以整体为研究对象，受力如图。,FCx,FCy,FD,q,F,FAx,FAy,FD,FB,q,解得,例7,例7 求图示结构固定端的约束反力。,解：先以BC
12、为研究对象，受力如图。,再以AB部分为研究对象，受力如图。,求得,FB,M,FC,FB,FAy,q,F,MA,FAx,例4,例8 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解之得：,FD,FAx,FAy,F1,F2,F3,C,x,y,45,例4,再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,例9,例9 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1P2500 N，各杆自重不计，求F处的约束反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解得：,P1,P2,FAx,FAy,FB,例9,再以DF为研究对象，受力如
13、图。,解得：,最后以杆BG为研究对象，受力如图。,解得：,P2,FEy,FFy,FFx,FEx,FGy,FB,FGx,FFy,FFx,例10,例10 三根等长同重均质杆(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。,解1：取AB分析，受力如图。不妨设杆长为l。,再以整体为研究对象，受力如图。,FBy,FBx,FAx,FAy,W,FT,W,W,W,FAx,FAy,FDx,FDy,例10,最后以DC为研究对象，受力如图。,联立求解(1)、(2)、(3)得：,FCy,FCx,FDx,FDy,W,解2：先以BC为研究对象，受力如图。,再以DC为
14、研究对象，受力如图。,FCx,FCy,FBx,FBy,W,FT,例10,联立求解(4)、(5)、(6)即可的同样结果。,最后以整体为研究对象，受力如图。,解2：先以BC为研究对象，受力如图。,再以DC为研究对象，受力如图。,例11,例11 三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力P，求铰链 E 处的反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解得：,P,FAx,FAy,FB,例11,下面用不同的方法求铰链 E 的受力。,方法1：先以DC为研究对象。,再以BDC为研究对象。,类似地，亦可以DC为研究对象，求FDy，再以ACD为研究对象
15、求解。,FDx,FDy,FCx,FCy,FB,FEx,FEy,FCx,FCy,例11,方法2：分别以ACD和AC为研究对象。,联立求解以上两方程即得同样结果。,类似地，亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。,FEx,FEy,FDx,FDy,FAx,FAy,FAx,FAy,FEx,FEy,FCx,FCy,例11,方法3：分别以BD和AC为研究对象，受力如图。,用RE1、RE2表示的约束反力和用FEx、FEy表示的约束反力本质上是同一个力。,FAx,FAy,FEx,FEy,FE2,FE1,FDx,FDy,FE2,FE1,FB,例12,例12 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。,M,FBy,FBx,FCx,FCy,解: (1) 取BC分析,求得结果为负说明与假设方向相反。,例12,(2) 取CD分析,F,FCx,FCy,FDx,FDy,求得结果为负说明与假设方向相反。,例12,M,q0,FCx,FCy,FAy,MA,
