阶跃折射率光纤

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1、三、阶跃折射率光纤(1),2、电磁理论方法,1、几何光学方法,按纤芯折射率分布分： a) 阶跃折射率分布光纤(SIOF); b) 渐变折射率分布光纤(GIOF);,SIOF是一种理想的数学模型，认为光纤是一种无限大直圆柱系统，包层沿径向无限延伸，光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质；,几何光学方法,光纤一般由芯层、包层和敷层(护套)构成。芯层和包层材料一般都是石英玻璃，只是掺杂成分和掺杂浓度略有不同。,护套的作用仅仅是保护光纤，理论分析时略去护套层，认为光纤的包层延伸到无限远处，这种假设对光的传播特性没有影响。,a、传播路径及光线分类,阶跃光纤纤芯折射率均匀分布，所以光线在纤芯内沿直线传播，

2、当光线到达界面时遵守菲涅耳定律。,光纤中的光线由于入射方向的差异性，必须区分两种情形。,一种是传播路径与光纤轴线相交的光线，称为子午光线。它的传播路径是平面折线，在光纤截面内的投影是长度为2a的线段，也就是光纤纤芯的某一条直径。,另一种是传播路径不与光纤轴线相交的光线，称为偏斜光线(空间光线)。它的传播路径是空间折线，在光纤截面内的投影是内切于一个圆的多边形(可以是不封闭的) 。,偏斜光线在传播过程中总与一个圆柱面相切，此圆柱面称为内焦散面，子午光线是内焦散面半径趋于零的特例。,为准确三维空间中，光线传播路径的方向，构建如图的坐标系。,一般来说，入射光线、反射光线和P点的法线PN为不在一个平面

3、内。,由图可以看出，光线的内焦散面半径为,可见光线的偏斜角决定了内焦散面半径的大小，光线按其大小可以分为,光线在光纤界面上发生全反射的临界入射角记为 ，则有,对于子午光线，显然当入射角 时，则光线在P点将发生折射，光线所携带的能量将部分地进入包层，成为折射光线；而当入射角 时，将在P点发生全反射，形成束缚光线。,对于偏斜光线，情况较复杂，从光线的路径方程结合下图可以看到有下述三种情况,1.以过P点的法线PN为轴，作以 为半锥角的圆锥面，此范围内的入射的光线，其入射角 ，将形成折射光线。,2.以过P点的圆柱面母线为轴，作以 为半锥角的圆锥面，此范围内入射的光线，其入射角 ，将形成束缚光线。,3.

4、除上述两类范围外的区域，满足入射角 ，而与母线间的夹角满足 时，光线介于束缚光线和折射光线之间的第三类光线，称为漏泄光线。,归纳起来，偏斜光线在传播过程中出现的三类光线是,光线在传播过程中，方位角 和 保持不变，可引进光线不变量,可以证明，引进不变量后，三类光线同样可以表述为,b、数值孔径,无论是子午光线，还是偏斜光线，仅当 时，光线才能成为束缚光线，并沿光纤轴无衰减传播，而光线的起始倾斜角由光纤端面入射的光线方向所决定。,以子午光线为例来说明光线从端面入射被光纤捕获并成为束缚光线的入射条件。,光线传播遵守菲涅耳定律，有,根据入射光线成为束缚光线的条件，有,(3-6)代入(3-7)式有,对于空

5、气，n0=1，从上式可以得到一个重要的结果，即从空气入射到光纤端面上的光线被捕获为束缚光线的最大入射角必须满足,定义上述光线成为束缚光线的最大入射角的正弦即为光纤的数值孔径(NA).,这是一个重要的概念，反映了光纤捕捉光线的能力。数值越大捕捉能力越强，从这个意义上应该使光纤的相对折射率大些，但太大又会使光纤的多径色散现象严重起来。实际上，多模光纤NA一般取0.2，而单模光纤NA常取0.1左右。,c、传播时延和时延差,由右图，根据几何关系可以得到P、Q两点间的距离都为,则其光程为,传播时延：沿 轴方向传播单位距离的时间，用 表示。,又由几何关系，得到P、Q两点的路径在光纤轴上的投影为,则光线在z

6、轴上传播单位距离所需要的时间，即传播时延为,从结果可以看到，阶跃光纤的传播时延由光线与z轴间的夹角 得到，而与倾斜角 无关，可见在相同的 角下，从始端同时出发的的子午光线与偏斜光线同时到达终端。,根据上面的分析，只需要讨论子午光线，其仅在一个面内传播，分析起来比较简单。,若在芯层中有两条束缚光线，而它们与z轴间的夹角分别为 和 ,则在z轴方向传播单位距离时，它们走过的路径不一样，将产生时延差，用 表示为,显然，所有的束缚光线中，路径最短的一条光线是沿z轴方向直线传播的光线，其 ；而路径最长的一条光线则是靠近全反射临界角入射的光线，其倾斜角 ，这两条光线传播时延差最大，称最大时延差，为,电磁理论

7、方法,几何光学理论是电磁波理论的零波长近似，只适用于分析多模光纤。在实际中，使用的主要是单模光纤，这种光纤的芯径小(几个微米)，与工作波长在同一量级，用几何光学无法得到正确结果。,光纤是圆柱状的介质光波导，采用以光纤中心轴为Z轴的圆柱坐标系来定量描述其结构和传输特性是方便的。,与以前的直角坐标系有下列关系,直接可推导出圆柱坐标系下的二维波动方程,纵向磁场满足的方程和上式也是一样的，显然只要将纤芯折射率和包层折射率代入上式并进行方程求解，就可以得到电磁场的纵向分量。,又由于圆柱坐标系中，电磁波的电场强度E和磁场强度H可以写成三个分矢量之和，即,将上式代入麦克斯韦公式，并进行适当推导，可得各分量之

8、间的关系,可以看到，光纤中的电磁场问题，可以归结为以下几步：,第一步就是在已知的折射率分布条件下，由圆柱坐标系中二维波动方程(3-17)式求出电磁场的横向分量；,第二步就是根据各分量间的有关系(3-19)式，求解出电磁场的横向分量；,第三步就是根据纤芯和包层分界面上的电磁场边界条件，确定场解中出现的一些待定系数，最终完成求解过程；,问题的核心集中在圆柱坐标系中的二维波动方程的求解上，这是一个二阶的偏微分方程，一般采用分离变量法求解。,a、阶跃光纤的电磁场解,纵向电场 和磁场 都满足同一方程，用 代替 和 ，则圆柱坐标系下的二维波动方程可写为,采用分离变量法求解， 可表示为,将(3-21)代入(

9、3-20)，得到,(3-22)式两边同乘以 ，可得到,观察上式，左边只是r的函数，右边只是的函数，而r、都是独立变量，相互没有关系，欲使上式对任何r、都成立，只有两边同时等于某一常数才有可能。,于是(3-23)式可分离为两个径向方程和角度场方程,对于上式的角度场部分，通过两次积分可以得到它的解为,在圆柱坐标系中，(r,)和(r,+2)是同一个点，所以为保证得到单值的解，()必须是以2为周期的周期函数，这就要求m只能取整数。,再看径向场部分，作变换 ,则得到,这是一个特殊的贝塞耳方程，在 条件下，上式是m阶贝塞耳方程的标准形式，而在 条件下，上式是m阶病态贝塞耳方程，他们的解也被分别称为m阶贝塞

10、耳函数和m阶病态贝塞耳函数。,在光纤中，纤芯的折射率较大，一般有 ，因而在纤芯中上述贝塞耳方程的解可以表示为,式中， 是m阶的第一类贝塞耳函数， 是第二类贝塞耳函数，又称纽曼函数。他们都是特殊函数，有振荡的特点，有无数零点。,关心一下两类贝塞耳函数的渐近特性，也就是宗量X很大或很小时的性态,第一类贝塞耳函数的渐近性态为,第一类贝塞耳函数的渐近性态为,第一类贝塞耳函数曲线,第二类贝塞耳函数曲线,看两类贝塞耳函数曲线图，可以发现,X很大时，两类贝塞耳函数都是振荡衰减的，这是圆柱坐标系中场量沿径向分布的必然规律；,X很小时， 在纤芯内中 是有限值，而 却是发散的。,为满足物理上的合理性，必须舍弃 只

11、取 来构成纤芯中的解，即,将 及 的表达式代入 ，即得到纤芯内的场解,上式中，关于角度场部分 ， 取 时， 取 ，只有这样才能保证 ，也就是纤芯和包层界面上的电磁场边界条件得以满足。,再看一下光纤包层中的情况，由于包层折射率较小，一般 因而在包程中，贝塞耳方程的解为变态贝塞耳函数，即,是第一类变态贝塞耳函数， 是第二类变态贝塞耳函数，这两类变态贝塞耳函数都是单调函数，关心一下他们在宗量很大或很小时的渐近性态,第一类变态贝塞耳函数的渐近性态为,第二类变态贝塞耳函数的渐近性态为,第一类变态贝塞耳函数曲线图,第二类变态贝塞耳函数曲线图,对于包层中，我们关心的是变态贝塞耳函数在 时的渐近特性，因为包层

12、中 。,从图中可以看出， 在 时是发散的，而 在 时是按指数规律趋于零的，为满足物理合理性，包层中的解只能取第二类变态贝塞耳函数 ，即,于是，包层中的解为,引进两个新的特征参量U和W，代替 和,于是光纤纤芯和包层中的纵向场解分别为,可以看到，电磁场的径向分量在纤芯内沿半径方向用贝塞耳函数描述；在圆周方向用正弦或余弦函数描述；在这两个方向上，场量都呈驻波分布，而在z轴方向，场量呈行波状态。,在包层中，场量是用第二类贝塞耳函数描述的，在r较大时，场量按指数规律衰减。这保证了电磁波的能量限制在纤芯及界面附近。,根据定义，特征参量U和W与k0、n、有如下关系,上述方程组的两个方程相减后，可以定义一个更

13、重要的特征参量,V与工作频率成正比，是一个无量纲的参数，称为光纤的归一化频率。,上述分析是在两个假设条件下满足的，在纤芯中，我们一般认为 ，而在包层中，我们一般认为 ，这实际给了光纤中的波为传播模或导波模的必要条件,b、导波模特征方程,纵向场量表达式(3-38)式中有几个未确定的常数 和 ，特征能量 也没有确定，从纤芯与包层界面(r=a)上的边界条件，有,上式确定了常量A和B的关系，加上光纤的激励条件，将能完全确定。,又将(4-43)方程组的两个方程相乘，消去A和B可以得到,上式确定了特征参量U、W、的关系，再加上特征参量和折射率的关系(3-40), 即可在已知光纤结构参量及工作波长的条件下求

14、得光纤中导波模式的特征参量。上式也就是光纤或圆柱介质光波导的特征方程。,进一步看特征方程的另一种形式，利用(3-40)式消去后，有,为形式简化，引进两个简单符号,代入上式，展开整理后，得到,上式是一个一元二次方程，因而可以得到其解为,上式即为特征方程的另一种写法，可以看到解的情况可以分为四类,若m=0，则有,这两种情形分别对应介质波导中的TE模和TM模。,如果 ，则上式取正号时得到一组解，取负号时得到另一组解，这两种情况分别对应于波导中的EH和HE两种混和模。,(3-47)的解的形式是精确的情况，实际应用当中，光纤都是所谓弱导光纤，也就是纤芯和包层的相对折射率差非常的小，即,将上式代入(4-4

15、6)式，可以得到附和实际情况的简化的结果,上式就是弱导条件下，光纤的特征方程，它是我们分析弱导光纤中传播特性的基础。实际上，也有m取零和m不为零时的取正取负的几种情况。,c、导波模分类,波导中的电磁场模式是指一个满足电磁场方程和边界条件的电磁场结构。如上所述，光纤中可存在TE模、TM模、EH模和HE模几大类。,1.TE模和TM模,TE模就是纵向电场Ez0的电磁场模式, 这就要求其表达式中的常数A=0. 于是，从边界条件满足的(3-47)式，可以得到,分析一下上式，显然 ，B不能为零，因为B再为零的话，则Hz=0，结果就没有电磁场存在了。所以只有m=0了。也就是说只有m=0时TE模式才能存在。,

16、则由m=0及光纤的特征方程，得到TE模式的特征方程,利用贝塞耳函数的递推公式,可将特征方程改写为,这是TE模式特征方程的常见形式。,对于TM模式，必须Hz=0，也就是表达式中的B0，同样导致m=0才能满足边界条件。又根据光纤特征方程，得到,这就是TM模的特征方程。但对于弱导光纤 ，则上式和(3-51)一样。也就是说，弱导条件下，TE模和TM模有共同的特征方程。,对于m=0的物理内涵，此时场量不是的函数，场分量在光纤中呈轴对称分布。这就是说，只有场结构呈轴对称分布的电磁波，才有可能在光纤或介质波导中以TE波或TM波的形式存在。,2.EH模和HE模,对于EH模或者HE模，即电磁波的纵向分量 ，这就要求场量表达式中的A和B都不为零，从边界条件就有 。,由光纤特征方程看到，在同一m值时，有两组不同的解，对应着两类模式。弱导条件下，弱导光纤特征方程右式取正号时所解得的一组模式为EH模，而取负号时解得的一组模式为HE模