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1、 1 / 8 2015 年全国卷 数 学(理科) 第卷 一、选择题 1设复数z满足 1z 1zi，则|z|( ) A1 B.2 C.3 D2 2sin20cos10cos160sin10( ) A 3 2 B. 3 2 C 1 2 D. 1 2 3设命题p：nN，n22n，则p为( ) AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n 4投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次 投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A0.648 B0.432 C0.36 D0.312 5已知M(x0，y0)是双
2、曲线C： x2 2 y21 上的一点，F1，F2是C的两个焦点若MF1 MF2 0，a2n2an4Sn3. (1)求an的通项公式； (2)设bn 1 anan1，求数列b n的前n项和 18.(本小题满分 12 分)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE 平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC. (1)证明：平面AEC平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 4 / 8 19.(本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售 量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的
3、影响对近 8 年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处 理，得到下面的散点图及一些统计量的值 x y w (xix)2 (wiw)2 (xix) (yiy) (wiw) (yiy) 46.65636.8289.81.61469108.8 wixi，w 1 8 wi. (1)根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给 出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程 (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题： 年宣传费x49 时，年销售量及年
4、利润的预报值是多少？ 年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分 别为 n i1 ui u viv n i1 ui u 2 ， v u. 5 / 8 20.(本小题满分 12 分)在直角坐标系xOy中，曲线C：y x2 4 与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点 (1)当k0 时，分别求C在点M和N处的切线方程； (2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由 21.(本小题满分 12 分)已知函数f(x)x3ax 1 4，g(x)lnx. (1)当a为何值时，x轴
5、为曲线yf(x)的切线； (2)用 minm，n表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数 6 / 8 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E. (1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线； (2)若OA3CE，求ACB的大小 7 / 8 23.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系 (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为 4(R)，设 C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积 8 / 8 24.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0. (1)当a1 时，求不等式f(x)1 的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于 6，求a的取值范围.
