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1、知 识 梳 理 (5、6、7章),概率分布的分位数(分位点),如图.,PXx =,双侧 分位数或双侧临界值的特例,当X的分布关于y轴对称时,,则称 为X分布的双侧分位数或双侧临界值.,如图.,若存在 使,小 结 几种常用分布的定义,正态总体样本均值的分布,设总体 , 是 的一个样本, 则样本均值服从正态分布,U分布,分布,定义 设总体 , 是 的一个样本, 则称统计量 服从自由度为n的 分布,记作,自由度是指独立随机变量的个数,,n个相互独立的标准正态分布之平方和 服从自由度为n的 分布,t分布,定义5.4,设随机变量XN(0,1),Y 2(n) ,且X与Y相互独立,则称统计量,服从自由度为n
2、的t分布或学生氏分布,,记作,T t(n).,t-分布的密度函数的图形相似于标准正态分布的密度函数.当n较大时, t分布近似于标准正态分布.,F分布,服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布,,几个常用结论和定理,正态总体样本均值的分布,设总体 , 是 的一个样本, 则样本均值服从正态分布,U分布,性质 设(X1,X2,Xn)为取自正态总体XN( , 2) 的样本,则,证明,由已知,有,XiN( , 2)且X1,X2,Xn相互独立,,则,由定义5.3得,(P111第五题要用到此结论. ),定理5.1 设(X1,X2,Xn)为来自正态总体 XN( , 2)的样本,则,(1) 样本均值 与样
3、本方差S 2相互独立;,与以下补充性质的结论比较:,性质 设(X1,X2,Xn)为取自正态总体 XN( , 2)的样本,则,定理5.2,设(X1,X2,Xn)为来自正态总体 XN( , 2)的样本,则统计量,证,由定义5.4得,定理5.3,设(X1,X2,Xn1)和(Y1,Y2,Yn2) 分别是来自正态总体N(1 ,2)和N(2 ,2)的样本,且它们相互独立,则统计量,其中,、,分别为两总体的样本方差.,(证略).,定理5.4,为正态总体 的样本容量和样本方差;,设 为正态总体 的样本容量和样本方差;,且两个样本相互独立,则统计量,证明,由已知条件知,且相互独立,,由F分布的定义有,参数估计,
4、参数的点估计,点估计的方法:数字特征法、矩法、极大似然法。,样本的数字特征法:以样本的数字特征作为相应总体 数字特征的估计量。,以样本均值 作为总体均值 的点估计量,即,点估计值,点估计值,以样本方差 作为总体方差 的点估计量,即,定义 设 为随机变量,若 存在,则称 为 的 阶原点矩,记作 ;若 存在,则称 为 的 阶 中心矩,记作,样本的 阶原点矩,记作,样本的 阶中心矩,记作,阶矩的概念,结论:不管总体X服从何种分布,总体期望和方差 的矩估计量分别为样本均值、样本方差,即,估计值为,参数的极大似然估计法,求解方法:,(2)取自然对数,其解 即为参数的极大似然估计值。,(3)令,(1)构造
5、似然函数,若总体的密度函数中有多个参数1,2,n,则将 第(3)步改为,解方程组即可。,区间估计,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,(1)方差已知,对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造U-统计量,反查标准正态分布表, 确定U的双侧分位数,得EX的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,(2)方差未知,对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造T-统计量,查t-分布临界值表, 确定T的双侧分位数,得EX的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,(3)均值已知,对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量,查2-分布临界值表, 确
6、定2的双侧分位数,得2的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,(4)均值未知,对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量,查2-分布临界值表, 确定2的双侧分位数,得2的区间估计为,(1)方差已知,对均值的区间估计,构造U统计量,(2)方差未知,对均值的区间估计,构造T统计量,总体服从正态分布的对均值的区间估计,区间估计,(4)均值未知,对方差的区间估计,构造2统计量,(3)均值已知,对方差的区间估计,构造2统计量,总体服从正态分布的对方差的区间估计,区间估计,假设检验,单个正态总体方差已知的均值检验,问题:总体 XN(,2),2已知,假设 H0:=0;H1:0
7、,构造U统计量,由,U检验,双边检验,如果统计量的观测值,则拒绝原假设;否则接受原假设,确定拒绝域,H0为真的前提下,H0:=0;H1:0,H0:=0;H1:0,或,单 边 检 验,拒绝域为,拒绝域为,单个正态总体方差未知的均值检验,问题:总体 XN(,2),2未知,假设 H0:=0;H1:0,构造T统计量,由,T检验,双边检验,如果统计量的观测值,则拒绝原假设;否则接受原假设,确定拒绝域,H0:=0;H1:0,H0:=0;H1:0,或,单边检验,拒绝域为,拒绝域为,单个正态总体均值已知的方差检验,问题:总体 XN(,2),已知,构造2统计量,由,如果统计量的观测值,则拒绝原假设;否则接受原假
8、设,确定临界值,或,2检验,假设,拒绝域,一个正态总体均值未知的方差检验,问题:设总体 XN(,2),未知,构造2统计量,由,如果统计量的观测值,则拒绝原假设;否则接受原假设,确定临界值,或,2检验,假设,双边检验,例1 由经验知某零件的重量XN(,2),=15, =0.05;技术革新后,抽出6个零件,测得重量为 (单位:克)14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6,已 知方差不变,试统计推断,平均重量是否仍为15克? (=0.05),解 由题意可知:零件重量XN(,2),且技术 革新前后的方差不变2=0.052,要求对均值进行 检验,采用U检验法。,假设 H0:=15; H1: 15,构造U统计量,得U的0.05双侧分位数为,例1 由经验知某零件的重量XN(,2),=15, =0.05;技术革新后,抽出6个零件,测得重量为 (单位:克)14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6,已 知方差不变,试统计推断,平均重量是否仍为15克? (=0.05),解,因为4.91.96 ,即观测值落在拒绝域内,所以拒绝原假设。,而样本均值为,故U统计量的观测值为,