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1、2.2 拓扑空间与连续映射,我们遵循前一节末尾提到的思路，从开集及其基本性质(定理2.1.2)出发来建立拓扑空间的概念.,定义2.2.1 设 X 是一个集合， 是 X 的一个子集族.如果满足如下条件： (l) X, ； (2) 若 A，B ，则 AB ； (3) 若 ,有 ,则称 是 X 的一个拓扑,称偶对(X， )是一个拓扑空间, 的每一个元素都叫做拓扑空间(X， )或 X 中的一个开集.即：A A是开集.,(此定义与度量空间的开集的性质一样吗),现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴. 定义2.2.2 设(X，)是一个度量空间.令 为由 X 中的所有开集构成的集族.根据定理2.1.2，(X，
2、 )是 X 的一个拓扑. 称 为 X 的由度量诱导出来的拓扑. 如果没有另外的说明，我们提到度量空间(X，)的拓扑时，指的就是拓扑 ；在称度量空间(X，)为拓扑空间时，指的就是拓扑空间 (X， ),例2.2.1 平庸空间. 设 X 是一个集合.令 =X， .容易验证，是X 的一个拓扑，称之为 X 的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间 (X， ) 为一个平庸空间.在平庸空间(X，)中，有且仅有两个开集，即 X 本身和空集.,例2.2.2 离散空间. 设 X 是一个集合.令 =P(X)，即 由 X 的所有子集构成的族.易证， 是 X 的一个拓扑，称为 X 的离散拓扑；在离散空间(X，)中，X的每一个子集
3、都是开集.,例 2.2.4 有限补空间. 设 X 是一个集合.首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起.因此在后文中对于 X 的每一个子集 A，它的补集 XA 我们写为 .令 =U 易验证 是 X 的一个拓扑。,X| 是 X 的一个有限子集 ,一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？,定义2.2.3 设(X，P )是一个拓扑空间.如果存在 X 的一个度量使得拓扑 P 即是由度量诱导出来的拓扑，则称(X，P )是一个可度量化空间.,满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？,现在我们来将度量
4、空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射.,定义 2.2.4 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f:XY.如果 Y 中每一个开集 U 的原象 (U)是 X 中的一个开集，则称 f 是 X 到 Y 的一个连续映射，或简称映射f连续.,按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了2.1中的定理2.1.4的启发.,下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质.,定理 2.2.1 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则 (1)恒同映射： :XX 是一个连续映射； (2)如果 f:XY 和 g:YZ 都是连续映射，则 g f:XZ 也是连续映射.,定义2.2.5 设
5、 X 和 Y 是两个拓扑空间.如果 f：XY 是一个一一映射，并且 f 和 ：YX 都是连续的，则称 f 是一个同胚映射或同胚.,定理2.2.2 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则 (1)恒同映射 ：XX 是一个同胚； (2)如果 f：XY 是一个同胚，则 ：YX 也是一个同胚； (3)如果 f：XY 和 g：YZ 都是同胚，则 g f：XZ 也是一个同胚.,定义2.2.6 设 X 和 Y 是两个拓扑空间.如果存在一个同胚 f：XY，则称拓扑空间 X 与拓扑空间 Y 是同胚的，或称 X 与 Y 同胚，或称 X 同胚于 Y. 粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间. 定理2.2.3 设 X，Y 和 Z 都是拓扑空间.则 (1)X 与 X 同胚； (2)如果 X 与 Y 同胚，则 Y 与 X 同胚； (3)如果 X 与 Y 同胚， Y 与 Z 同胚，则 X 与 Z 同胚.,拓扑空间的某种性质 P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质 P 是一个拓扑不变性质.换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质. 拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质.,作业： P55 2,5,6,8,9,10,
