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1、,上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近
2、的离散程度.,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,一、方差的定义,采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用,由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.,方差的算术平方根 称为标准差,若X的取值比较分散，则方差较大 .,若方差D(X)=0, 则 r.v X 以概率1取常数值 .,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差较小；,D(X)=EX-E(X)2,X为离散型， P(X=xk)=pk,由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=X-E(X)2的数学期望 .,X为连续型， Xf(x),二、计算方差的一个简化公式,D(X)=E
3、(X2)-E(X)2,展开,证：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望 性质,请自己用此公式计算常见分布的方差.,例1 设r.v X服从几何分布，概率函数为,P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,，n,其中0p1,求D(X),解：,记q=1-p,求和与求导 交换次序,无穷递缩等比 级数求和公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),三、方差的性质,1. 设C是常数,则D(C)=0;,2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X);,3. 若X1与X2 独立，则 D(X1+X2)
4、= D(X1)+D(X2);,可推广为：若X1,X2,Xn相互独立,则,X1 与X2不一定独立时， D(X1 +X2 )=？ 请思考,4. D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C=E(X),下面我们用一例说明方差性质的应用 .,例2 二项分布的方差,设XB(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的 “成功” 次数 .,故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2,E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p,则 是n次试验中“成功” 的次数,= p- p2= p(1- p),于是,i=1,2，n,D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p),由于 X1,
5、 X2, Xn 相互独立,= np(1- p),四、切比雪夫不等式,设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于 任给 0,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.,由此可体会方差的概率意义： 它刻划了随机变量取值的离散程度.,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .,例3 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不
6、等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .,解：设每毫升白细胞数为X,依题意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求为 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9 .,例4 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0
7、.740.76之间的概率至少为0.90?,解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数，,E(X)=0.75n,的最小的n .,则 XB(n, 0.75),所求为满足,D(X)=0.75*0.25n=0.1875n,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.74n X0.76n ),可改写为,= P |X-E(X)| 0.01n,解得,依题意，取,即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.740.76之间的 概率至少为0.90 .,这一讲，我们介绍了随机变量的方差.,它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 .,下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：,相关系数,
