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1、通信基础教学部,第四章 LTI连续信号与系统的复频域分析,4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯反变换 4.4 拉普拉斯与傅里叶变换的关系 4.5 连续LTI系统的复频域分析法 4.6 连续LTI系统的复频域系统函数 4.7 连续LTI系统的稳定性 4.8 连续系统域框图和信号流图,上午1时9分22秒,通信基础教学部,1. 从傅氏变换到拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,傅里叶变换有以下不足之处：,(1) 要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信号不满足该条件，不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。而且其变换式中常含有冲激函数，使分析计算麻烦,(2) 有些重要函数如eat
2、 (a0) 的傅里叶变换不存在，无法用傅里叶分析方法处理。,而拉普拉斯变换作为傅里叶变换的推广，把频域扩展到复频域，解决了上述不足。,(4)傅立叶变换分析法只能确定零状态响应。故分析具有初始状态的系统时，不太方便,(3) 傅里叶变换的反变换比较难求,上午1时9分22秒,通信基础教学部,1. 从傅氏变换到拉氏变换,一些信号不满足绝对可积条件，其傅立叶变换不存在。可引入一个衰减因子函数 et (为任意实数)，用它与信号 f (t)相乘成为新的函数 f1(t)= f (t) et , 这个新函数满足绝对可积条件。据此，可写出该函数的傅氏变换：,4.1 拉普拉斯变换,令,定义该式为信号f(t)的双边拉
3、普拉斯变换，简称拉氏变换。,上午1时9分22秒,通信基础教学部,反之，亦可以根据傅氏反变换，求新的函数 f( t) et :,4.1 拉普拉斯变换,等式两边同时乘以e+ t 得：,则,而,时,上式可写为：,定义该式为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。,上午1时9分22秒,通信基础教学部,于是，得到一个拉氏变换对：,拉氏正变换,拉氏反变换,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,2.双边拉氏变换的收敛域ROC (Region of Convergence),由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号 f(t)e-t 的傅里叶变换，因此，若 f(t)e-t 绝对可积，即,则 f(t) 的
4、双边拉普拉斯变换一定存在。,4.1 拉普拉斯变换,通常把使f(t)et满足绝对可积条件的值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域（region of convergence，ROC）。在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在；在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。,上午1时9分22秒,通信基础教学部,可见，F(s)是否存在取决于能否选取适当的使信号 f(t)e-t 收敛。进一步说，由于 是复频率s的实部，=Res，所以，F(s)是否存在取决于能否选取适当的 。由于F(s)的收敛域由s 的实部决定，与s的虚部j无关，所以, F(s)的收敛域的边界是平行于j轴的直线（如图）。,0,j,0,收 敛 坐 标,收敛域
5、,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,例,求收敛域。,解： （1）欲使,成立,必须满足 即,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,方法（2）,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,例,求收敛域。,解： 欲使,成立,必须满足,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,例,求收敛域。,解：,欲使F(s)存在，除非,即,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,由上例已知，对,有收敛域,故，当 时，f(t) 的收敛域为 ,当 时，f(t) 的收敛域不存在，F(s)不存在。,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分
6、22秒,通信基础教学部,3. 单边拉普拉斯变换,时间域为（ ，）的拉氏变换叫做双边拉氏变换。但是，由于现实信号都是有始信号，拉氏变换的积分从 t= 0 开始，即：,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,典型信号的拉氏变换,冲激信号,证明：,证明：,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,2.单位阶跃信号,对于单边拉氏变换,证明：,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,3. 指数信号,证明：,若 则有,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4. 正弦信号,4.1 拉普拉斯变换,证明：,上午1时9分22秒,通信基础教学部
7、,5. 单边衰减正弦信号,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,5. 单边衰减正弦信号,4.1 拉普拉斯变换,同理：,上午1时9分22秒,通信基础教学部,6. 单边双曲函数,证明：,4.1 拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,7. t 的正幂信号,4.1 拉普拉斯变换,令 u= t n dv= e- stdt du = n t n-1dt v = -e-st/ s,L,L,L,L,证明：,上午1时9分22秒,通信基础教学部,典型信号的拉普拉斯变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,作业,4.1 （2）（3） 4.2 （b）,上午1时9分22秒,通信基础教学部
8、,4.2 拉氏变换的性质,1 线性性质,若,则,拉氏变换性质与傅里叶变换性质极为相似。在某些性质中，只要把傅氏变换中的j用s替代即可。,例：,解：,例：,解：,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,2、比例性,例：,解：,傅氏变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,请注意 a0 的限制，因为 f( t) 是有的的始信号，若 a 0 的时间区间为零，因而其单边拉氏变换将为零。如图所示,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,3、时移性,例：,解：,解：,（不能用时移性）,例：,傅氏变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,例,求
9、下列波形的拉氏变换。,解：,1 ）,2 ）,3 ）,4 ）,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,其中 为周期信号第一周期信号波形（即 时的信号波形）的拉普拉斯变换， 为周期信号的周期。,周期信号的拉普拉斯变换,周期信号的傅立叶变换,等比数列,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,例：,解：,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,例：,解：,例：若 ，则,解：,上午1时9分22秒,通信基础教学部,求半波整流信号 f (t) 的拉氏变换。,解：,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4
10、.2 拉氏变换的性质,4、频移性,可见：时域里 f(t) 乘以 相当于复频域里F (s) 发生了 移动。,傅氏变换,频移性,上午1时9分22秒,通信基础教学部,求,已知,解：,4.2 拉氏变换的性质,例：,解：,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,5、时域微分,若 ，,则,类推：,傅氏变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,证明：,L,4.2 拉氏变换的性质,L,L,L,上午1时9分22秒,通信基础教学部,L,则,L,L,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,设,求 的拉氏变换。,解：,解法一：,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基
11、础教学部,解法二：,尽管 但,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,例：,解：,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,6、时域积分,傅氏变换中的时域积分性质,若,则,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,证明：,L,L,L,L,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,例,求 的拉氏变换。,解：,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,7、时域卷积定理,例：,解：,傅氏变换,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,若,则,积分路线=c时F1()和F
12、2(s)的收敛域重叠部分内与虚轴平行的直线。这里对积分路线的限制较严，积分复杂，应用较少。,对比傅氏变换的频域卷积定理,8 复频域卷积定理,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,9、复频域微分,例：,解：,傅氏变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,10、复频域积分,例：,解：,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,11、初值定理,L,L,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,例： ，求,解：,例： ，求,解：,上午1时9分22秒,通信基础教学
13、部,4.2 拉氏变换的性质,12、终值定理,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,若 ，且 存在，则,证明： 利用时域微分性质,L,两边取 s0 的极限得,证毕,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.2 拉氏变换的性质,例： ，求,解：,例： ，求,解：,例： ，求,解：,上午1时9分22秒,通信基础教学部,信号与系统的变换域分析,1、线性,3、时移性,2、比例性,4、频移性,5、时域微分,6、时域积分,上午1时9分22秒,通信基础教学部,信号与系统的变换域分析,8、频域积分,7、频域微分,9、时域卷积定理,10、频域卷积定理,11、初值定理,12、终值定理,条件：F(
14、s)的极点都在S平面的左半平面或原点仅有单极点,上午1时9分22秒,通信基础教学部,作业,4.3 （3） 4.6 （2） 4.8 （2）（5）（8）（9） 4.12 （3）（5）（6）,上午1时9分22秒,通信基础教学部,4.3.1 部分分式展开法,根据信号的拉氏变换F(s) 求解信号的原函数 f(t) ，就是所谓的求取拉氏反变换。,信号的拉氏变换 F(s) 通常具有有理函数的形式 ，可以表示 为两个s的多项式之比，即,式中，an bm 为实数； m 和 n 是正整数。根据它们大小的不同 F(s) 呈假分式和真分式。,4.3 拉普拉斯反变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,其中，N1(s)
15、 的阶次已低于D(s)的阶次， 为真分式。,1) 当 m n 时， F(s) 是假分式，用长除法化成多项式+真分式的形式,4.3 拉普拉斯反变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,1. 若D(s)=0 的根为实数根且无重根，或者说 F(s) 具有单极点 。,其中，K1, K2, Kk Kn 为待定系数。如果n小，比如 n 3 , 可用比较系数法确定 Kn ; n 较大时，用以下方法：,2) 当 m n 时， F(s) 是真分式，方可运用部分分式展开法求解。,4.3 拉普拉斯反变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,上式两边同时乘上(s s1), 并令 s = s1 得：,得：,4.3 拉普拉斯反变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,而 F (s) 的反变换 f (t) 则可由下式求得：,待定系数确定以后，便可以根据指数信号的拉氏变换，求 反变换：,4.3 拉普拉斯反变换,上午1时9分22秒,通信基础教学部,例,已知
