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1、第三章 矩阵的初等变换 与线性方程组,3.1 矩阵的初等变换,3.2 矩阵的秩,3.3 线性方程组的解,习 题 课,分析: 用消元法解下列方程组的过程. 引例: 求解线性方程组,3.1 矩阵的初等变换,本章先讨论矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念, 并提出求秩的有效方法. 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件, 并介绍用初等变换解线性方程组的方法. 内容丰富, 有一定难度.,一、消元法解线性方程组,解:,用“回代”的方法求出解.,于是得解:,其中x3可以任意取值.,或令x3=c, 方程组的解可记作:,1.上述解方程组的方法称为消元法
2、 2. 始终把方程组看作一个整体变形, 用到如下三种变换:,(2),其中c为任意常数.,或,归纳以上过程:,(3) 一个方程加上另一个方程的 k 倍:,(2) 以不等于0的数 k 乘某个方程:,(1) 交换方程次序:,由于三种变换都是可逆的, 所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的. 故这三种变换是同解变换.,3. 上述三种变换都是可逆的.,因为在上述变换过程中, 未知量并未参与本质性运算, 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算, 只因某未知量前的系数化为0, 而不显含该未知量.,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的变换.,二、矩阵的初等变换,定义1: 下
3、面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 对调两行 (对调 i, j 两行, 记作 ri rj ) ; (2) 以非零数k乘以某一行的所有元素 ( 第 i 行乘 k, 记作 ri k ); (3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去 (第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去, 记作 ri+krj ).,同理可定义矩阵的初等列变换( 所用记号是把“r”换成“c” ),定义2: 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.,初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同.,ri rj 的逆变换为 rj ri; ri k 的逆变换为 ri (1/k), 或 ri k; ri+krj 的逆
4、变换为 ri+(k)rj , 或 ri krj .,定义3: 如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B, 则称矩阵A与矩阵B等价. 记作AB.,具有以下三条性质的关系 称为等价关系: (1) 自反性: A A; (2) 对称性: 若A B, 则 B A; (3) 传递性: 若A B, 且 B C, 则A C.,矩阵的等价 满足等价关系的定义.,两个同解线性方程组具有等价关系性质, 因此也称两个同解线性方程组为等价的.,用矩阵的初等行变换解方程组(1).,B6对应的方程组为:,或令x3=c(c为任意常数), 方程组的解可记作:,矩阵B5和B6都称为矩阵行阶梯形矩阵.,特点(1). 可划出一条阶梯
5、线, 线的下方全为零;,特点(2). 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数, 阶梯线上的第一个元素为非零元, 即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元.,注意: 行最简形矩阵是由矩阵(方程组)唯一确定的, 行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由矩阵(方程组)唯一确定的.,行阶梯矩阵B6还称为行最简形矩阵, 即非零行的第一个非零元为1, 且这些非零元所在的列的其它元素都为零.,行最简形矩阵再经过列初等列变换可化成标准形.,B6,对任何矩阵Amn, 总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.,矩阵F称为矩阵B的标准形.,特点: 标准形F的左上角是一个单位矩阵, 其余元素全为零.
6、,所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合, 称为一个等价类, 标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.,任一个矩阵Amn总可经过初等变换化为标准形,标准形由m, n, r三个数唯一确定, 其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.,三、初等矩阵的概念,定义: 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算, 应用广泛.,对调两行或两列;,以非零数k乘某行或某列;,以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去.,对调两行或两列,对调E中第i, j两行(或列), 得初等矩阵E(i, j):,第i 行,第j 行,E(i, j) =,第i
7、 行,第j 行,用m阶初等矩阵Em(i, j)左乘A=(aij)mn, 得,Em(i, j)A=,相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i 行与第j 行对调(rirj).,第i 列,第j 列,用n阶初等矩阵En(i, j)右乘A=(aij)mn, 得,相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第i 列与第j 列对调(cicj).,以非零数k乘某行或某列,以数k0乘单位矩阵的第i 行(或列)得初等矩阵E(i(k).,第i 行,第i 行,以Em(i (k)左乘矩阵A=(aij)mn, 得,相当于以数k乘A的第i 行(rik).,类似地, 以En(i (k)右乘矩阵A=(aij)mn, 其
8、结果相当于以数k乘A的第i 列(cik).,以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去,第i 行,第j 行,以k乘E的第j 行加到第i 行上, 或以k乘E的第i 列加到第j 列上得初等矩阵E(ij(k).,以Em(ij(k)左乘矩阵A=(aij)mn, 相当于把A的第j 行乘数k加到A的第i 行上(ri+krj).,第i 行,第j 行,类似地, 以En(ji(k)右乘矩阵A=(aij)mn, 其结果相当于把A的第j 列乘数k加到A的第i 列上(ci+kcj).,第i 列,第j 列,四、初等矩阵的应用,定理1: 设A是一个mn矩阵, 对A施行一次初等行变换, 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩
9、阵; 对A施行一次初等列变换, 相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,变换 rirj 的逆变换是其本身, 则,变换 rik 的逆变换是 ri(1/k), 则,E(i, j)-1 = E(i, j).,E(i(k)-1 = E(i(1/k).,变换 ri+krj 的逆变换是 ri+(k)rj , 则,E(ij(k)-1 = E(ij(k).,定理2: 方阵A为可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, Pl , 使A=P1P2 Pl .,证: 充分性. 由于A = P1P2Pl , 且初等矩阵P1, P2, , Pl 为可逆的, 有限个可
10、逆矩阵的乘积仍是可逆的, 故方阵A可逆.,在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl 使,P1P2Ps F Ps+1Pl =A.,必要性.设矩阵A为可逆的, 且A的标准形为F,则存,由于A可逆, 且P1, P2, , Pl 也可逆, 故A的标准形F 也必,可逆,设,假若 r n, 则| F | = 0,这与F 可逆矛盾.,故有F =E.,从而,A = P1P2Pl ,证毕,推论2: mn矩阵A B的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B.,利用初等变换求逆阵的方法:,当| A | 0时, 则由 A=P1P2Pl , 得,及,推论1: 方阵A可逆的充分必要条件是AE
11、.,由以上的证明可得: 可逆矩阵的标准形就是E, 实际上, 可逆矩阵的行最简形也是E.,则,即, 对n2n矩阵(A|E)施行初等行变换, 当把A变成E的同时, 原来的E就变成了A-1.,对n2n矩阵(A E)分块为(A|E),同样, 对矩阵方程 AX = B, 其中A为n阶方阵, B为ns 阶矩阵, 如果A可逆, 则X =A-1B.,由定理2得: 存在初等矩阵P1, P2, Pl , 使得A=P1P2 Pl ,及,即,所以,也就是说, 当一系列初等行变换将A化为E 的同时也将B化为了A-1B.,考虑分块矩阵(A | B), 可得,对于有n个未知数n个方程的线性方程组, 用矩阵(向量)方程 Ax
12、=b 表示.,行变换化为(E | x)时, 则系数矩阵A可逆, 且x =A-1b为方程 Ax=b 的唯一解(向量).,如果增广矩阵B = (A | b)经初等,解:,所以,例2: 求矩阵X, 使AX=B, 其中,解: 若A可逆, 则 X=A-1B.,所以,即可求得Y=CA-1.,也可改为对(AT|CT)作初等行变换.,即可求得YT=(AT)-1CT=(A-1)TCT,从而求得Y=CA-1.,1. 初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,3. 矩阵等价具有的性质: 自反性, 对称性, 传递性.,三、小结,(1) ri rj (cicj); (2) ri k ( ci k
13、 ); (3) ri+krj (ci+kcj ).,4. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,(1) 构造矩阵(A|E)或,(2) 对矩阵(A|E)施行初等行变换, 将A化为单位矩,阵E后, 右边E对应部分即为A-1;,变换, 将A化为单位阵E后, E对应的部分即为A-1.,思考题,已知四元齐次方程组,元齐次方程组(2)的通解为:,及另一四,问: 方程组(1)与(2)是否有非零公共解? 若有, 请求出来.,或表示为:,思考题解答,将(2)的通解代入(1)得:,故方程组(1)与(2)有非零公共解,(1)与(2)的所有非零公共解为:,思考题,表示成有限个初等方阵的,将矩阵A=,乘积.,思考题解答,A可以
14、看成是由3阶单位矩阵E经4次初等变换:,而这4次初等变换所对应的初等方阵为:,而得.,由初等矩阵的性质得:,3.2 矩阵的秩,一、矩阵秩的概念,由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵.行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数量关系之一矩阵的秩.,定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A的k阶子式.,mn矩阵A的k阶子式共有,定义: 若在矩阵A
15、中有一个 r 阶子式D非零, 且所有的 r+1阶子式(如果存在的话)都为零, 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式, 称数 r 为矩阵A的秩, 记作R(A).,规定零矩阵的秩为零. mn矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高阶数. 对于AT, 显然有: R(AT) = R(A).,解: 在矩阵A中,又由于矩阵A的3阶子,式只有| A |, 且| A | = 0.,所以, R(A)=2.,例2:求矩阵B =,解: 由于B是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有3行,所以B的所有4阶子式都为零.,而,所以, R(B)=3.,例3: 求矩阵A=,的秩.,解: 因为,计算A的3阶子式.,的秩.,所以, R
16、(A)=2.,另解: 用初等变换将A化为行阶梯形矩阵:,显然, 非零行的行数为2.,所以, R(A)=2.,此方法简单! 但理论依据如何?,二、矩阵秩的求法,因为任何矩阵Amn, 总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵.,问题: 经过变换矩阵的秩改变吗?,定理1: 若A B, 则 R(A) = R(B).,证: 先证明: 若A经过一次初等行变换变为B,则R(A)=R(B).,设R(A)=r, 且A的某个r 阶子式Dr 0.,则在B中总能找到与Dr 相对应的子式Dr .,由于 Dr = Dr , 或 Dr = Dr , 或 Dr = kDr .,因此Dr 0, 从而R(B) r .,分三种情况讨论
