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1、第一篇,力 学,运动学 动力学 静力学,(Mechanics),第一章,质点运动学,任务：确定质点在时空的运动状态,(Kinematics of Particles),一.质点,质点：将物体看成一个具有质量而没有大小和形状的点,1-1 质点 参照系和坐标系,1)物体无转动运动时可视为质点,物体上任一点都可以代表物体的运动,质点模型适用范围,2)物体自身线度与其活动范围相比小得多时可视为质点,地球绕太阳公转,二.参照系,车厢的人：,垂直下落,地面上的人：,抛物运动,-运动的描述是相对的,研究物体运动，可选不同参照系.,参照系：为描述物体运动而选用的参考物体,三.质点的位置,1.坐标系(coord
2、inate system),1)直角坐标系：,(x,y,z)确定质点位置,.,2)自然坐标系：,在已知的运动轨迹上任选一点0为原点建立的坐标系,自然坐标 s 确定质点的位置,:切向单位矢量,:法向单位矢量,.,3)平面极坐标系,：极轴,：辐角,平面极坐标 ( r, ) 确定质点的位置,通常规定从极轴沿逆时针方向的为正,：极径,一.质点的位置矢量（位矢） (position vector),由原点O 到P 的矢量 ， 表征空间某点P的位置,1-2 描述质点运动的四个物理量,.,在直角系中分量表达式：,.,大小：,方向（用方向角表示）：,.,矢量形式：,分量形式：,运动方程,质点运动过程中位置随时
3、间变化的函数,-消去 t 可得轨迹方程,.,二.位移矢量(displacement vector),位移：质点 一段时间内 位置矢量 的改变量,注意：位矢与位移的区别,.,且,在极限情况下有,单方向直线运动时有,讨论 ： 的区别,-矢量,-标量,1) 与 不同：,.,位移,路程,2) 与 不同：,.,三.速度 (velocity),平均速度：,速度：描述质点运动快慢和运动方向的物理量,大小：,.,瞬时速度(速度)：,-轨道切线方向,方向：,的方向,用自然坐标表示：,时， 的极限值,大小：,.,在直角坐标系中：,大小：,.,平均速率：,瞬时速率：,速率,.,注意：,1),讨论 ： 是否相等,2)
4、,.,解：,1)运动方程的分量形式为,2),3),.,四.加速度(acceleration),加速度：描述质点速度随时间变化快慢的物理量,.,平均加速度：,瞬时加速度：,.,大小：,方向：,的方向，一 般与速度 方向不同,.,五.运动学的两类问题:,已知,已知,(还需知初始条件 ),-微分问题,-积分问题,.,例1质点运动方程为x=2t，y=19-2t2。(1)写出质点任意时刻的位矢 、速度 和加速度 ；(2)什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量恰好垂直,解：,1),1.,.,2)令,即,解得,(舍去),.,解,已知,求,和运动方程,代入初始条件,代初,2.,例, t =0 时，,由已知有,.,
5、位置矢量,位移矢量,速度,加速度,复 习,一.直线运动的描述,直线运动：一维运动,用坐标 x (代数量)可表示质点的位置,位矢：,运动方程：,1-3 直线运动(rectilinear motion),直线运动的标量描述,.,直线运动形式：,匀速直线运动 匀变速直线运动 非匀变速直线运动,非匀变速直线运动时,.,1）已知:加速度 a=a(t) t =0, x= x0, 速度为v =v0 求:速度和运动方程,两边积分,匀加速时(a为常数),(1),.,又,匀加速时,(2),即,消去t 得,.,例2质点沿 x 轴作直线运动, a=2t。t =0时，x=1，v=0，求,解：,可得,可得,.,例3已知:
6、 t = 0 时, x = x0 , v = v0,a =- kv , k为常数，求v(t),解：,2)已知 a=a(v)，先求 v(t)，再求x(t),正：,.,例4质点沿x轴正向运动，a=-mx(m为正常数)。t=0时, x=0, v =v0，在什么位置质点停止运动?,解：,3)已知 a=a(x)，先求 v(x)，再求x(t),.,得,质点停止运动时,( 舍去),例6质点沿x轴作直线运动，速度v=1+2x，初始时刻质点位于原点,求质点任意时刻的位置和加速度,解：,.,例5如图,长l的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A匀速下滑速率为v。当下端B离墙角距离为x (xl)时,B端水平速度和加速
7、度多大?,解：,如图所示的坐标系,两边对t求导,.,加速度,.,一.抛体运动(projectile motion),1-4 曲线运动（curvilinear motion）,抛体运动：二维运动(平面曲线运动),任意时刻速度分量为,运动方程,.,消去 t 得轨迹方程,由vy=0有,得射高,由y =0得射程,.,矢量形式为:,.,初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的叠加,猎人与猴子的演示,复杂运动可归结为各自独立直线运动的叠加,-运动叠加原理,.,二. 圆周运动(circular motion),.,在自然坐标系中,即与 同向,.,:切向加速度，沿轨道切线,:法向加速度，指向圆心,大
8、小,方向,-与法向的夹角,.,大小,方向,-与法向的夹角,.,讨论:,1)速度大小的变化对应切向加速度 速度方向的变化对应法向加速度,2)变速圆周运动 的方向不指向圆心,只有匀速圆周运动,指向圆心,的物理意义,.,三.一般曲线运动, -曲率半径,说明：,1)一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心,2)总的加速度总是指向曲线凹的一侧,0 -曲率中心,曲率圆,.,讨论：,（3）加速度的方向,.,.,a,a,a,a,a,a,),减速区域,加速区域,太阳,近日点,远日点,90,90,0,0,v,v,v,v,v,v,v,v,一般曲线运动,思考题1：,.,复 习,非匀变速问题,v(x),v(t),x(t
9、),x(t),-分离变量法,复 习,圆周运动,物理意义,一般曲线运动,练习：已知质点的运动方程：,求：1)速度 2)加速度,3)t = 1 s时，切向加速度,法向加速度,解：,3),2),1),再问：最初1s内的路程 ？,求抛体运动过程中的曲率半径？,如B 点,思考,已知质点运动方程为,求,之间的路程 。,例,解,质点运动速度为,速率为,路程有,将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为,g 为重力加速度， 为切向与水平方向的夹角.,由题意可知,从图中分析看出,例,质点在钢丝上各处的运动速度.,求,解,四圆周运动的角量描述,角坐标,运动方程：,-
10、角位移,(angular displacement),角速度(angular velocity),描述质点转动快慢的物理量,单位：rad/s,.,角加速度(angular acceleration),描述质点角速度变化快慢的物理量,单位：rad/s2,.,特例：,1.匀速圆周运动,2.匀变速圆周运动,.,直线运动:,圆周运动:,.,变角加速度问题,求解方法也与一维直线运动相似,.,2.线量与角量关系,.,例8质点作半径R=1m的圆周运动，其角位置= t 2+1(rad)，t以秒计.问多大时，切向加速度是总加速度大小的1/2?,解：,.,证：,例9一质点沿圆周运动, 其切向加速度与法向加速度的大
11、小恒保持相等。设 为质点在圆周上任意两点速度 与 之间的夹角。试证:v2=v1e,积分得,.,t 时刻质点运动到A点,K系,K系,K 系描述:,K系描述:,1-4 相对运动(relative motion),设参考系K相对 参考系K 平动， 速度为,.,引入矢量,由图得位矢关系：,或：,伽利略变换,(Galilean transformation）,.,加速度关系：,伽利略速度变换,速度关系：,.,例 用速度关系解释：雨天骑车，人要在胸前铺一块塑料布才可遮雨。,.,1）若K系相对于K系作匀速直线运动,在相对作匀速直线运动的各个参照系中，测得同一质点的加速度是相同的,.,2）以上结论是在绝对时空
12、观下得出的,只在 v c 时才成立。,3）不可混淆 “运动的合成分解” 和 “伽利略变换关系”,例9东流水，流速v1=4 m/s, 船以速度v2=3 m/s向正北行驶（相对于水）。求:在岸上测得船的速率v，及航向?,解：,船相对于岸的速度,.,练习：某人骑车以速率 v 向正西方向行驶，遇到由北向南刮的风，风速也为 v, 则他感到风是从什么方向吹来？,北,东,西,南,西北,例11如图，两船A和B各以速度 和 行驶，试问它们会相碰吗？,解：,B相对于A的速度,不会相碰,例12证明在猎人和猴子的演示中，不论子弹的初速度如何总能击中猴子(不计空气阻力),解：,即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度，只要一开始瞄准猴子总能击中,例1已知质点运动方程为,(，R为常数)。求 (1)2秒末的速度和加速度；(2)证明,解：,1),2)两矢量相互垂直时应有,五. 运动学的二类问题,1. 第一类问题,已知运动学方程，求,(1) t =1s 到 t =2s 质点的位移,(3) 轨迹方程,(2) t =2s 时,已知一质点运动方程,求,例,解,(1),(2),(3),当 t =2s 时,由运动方程得,轨迹方程为,
