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1、矩阵证明题简单应用题能力：1试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA2试证：设是n阶矩阵，若= 0，则3已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求.4. 设阶矩阵满足，证明是对称矩阵.5 设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵6设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.7若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。8设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.9设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.10n阶方阵A满足A2-3A-2E=0，其中A给定，证明
2、A可逆.11设A、B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B，证明(A+B)2=A+B的充分必要条件是AB=BA=0.12若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。13设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆.14设矩阵A可逆，证明（A*）-1=|A-1|A.参考答案1试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA1证 因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB 得3分 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 得5分2试证：设是n阶矩阵，若= 0，则2证 因为 得2分 = = 所以 得5分3已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求.3. 证 因为，
3、且，即， 得3分 得，所以是可逆矩阵，且. 得5分4. 设阶矩阵满足，证明是对称矩阵.4. 证 因为 = 得4分 所以是对称矩阵. 得5分5设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵5证 因为 ，且 得2分 得5分所以 ABBA是对称矩阵6设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.6证：因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 得2分 又因为 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1), 即 (E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E, 所以 (E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1 得5分7若A为非退化矩
4、阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。7证：因为A为非退化矩阵,并且AB=BA，所以两边右乘得：， 得3分再两边左乘得： 得5分8设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.8证：因为AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 得4分 从而BTAB是对称矩阵 得5分9设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.9证：充分性: 因为AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即AB是对称矩阵. 得3分 必要性: 因为AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB,
5、所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 得5分10n阶方阵A满足A2-3A-2E=0，其中A给定，证明A可逆10证：由A2-3A-2E=0可得：A(A-3E)=2E， 得3分 即 所以A可逆，且 得5分11设A、B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B，证明(A+B)2=A+B的充分必要条件是AB=BA=0.12若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。13设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆.14设矩阵A可逆，证明（A*）-1=|A-1|A.综合应用题能力：1设阶方阵,其中是维列向量,证明：（1）的充要条件为； （2）当时，矩阵不可逆。2设阶方阵满足，证明： (1
6、) 矩阵可逆； (2) 矩阵与不同时可逆。3如果，证明A2=A的充要条件是B2=E。4设矩阵A可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*.5设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其逆阵.6若方阵A满足，证明可逆，并求出的逆矩阵.参考答案1设阶方阵,其中是维列向量,证明：（1）的充要条件为； （2）当时，矩阵不可逆。1证：（1） ， 得2分故的充要条件为； 得4分（2） 由（1）得，若可逆，则，矛盾。 得8分2设阶方阵满足，证明：(1) 矩阵可逆； (2) 矩阵与不同时可逆。2证：（1），； 得4分 （2） ，与至少有一个为零。 得8分3如果，证明A2
7、=A的充要条件是B2=E。3证：（必要性）， ，化简即得：B2=E。 得4分 （充分性） 得8分4设矩阵A可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*.4证：由A可逆可知：，即也可逆。 得4分所以 得8分5设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其逆阵.5证：因为 A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1, 得2分而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆. 得6分 (A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(A+B)-1A. 得8分6若方阵A满足，证明可逆，并求出的逆
8、矩阵.6证：由可得，得2分即 得6分所以可逆，且 得8分发展应用题能力：1设为矩阵，证明：存在非零矩阵，使的充分必要条件为秩。2试证明： 3设A为n阶满秩方阵(n2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n2A.4设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1.5设A为mn矩阵，B为n阶矩阵，且r(A)=n，试证：（1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A则B=E。6设A、B为mn矩阵，则r(A+B)r(A)+r(B)。7如果A是参考答案1设为矩阵，证明：存在非零矩阵，使的充分必要条件为秩。1证： 充分性：，存在一个基础解
9、系，令，易知就是非零矩阵。 得5分必要性：设，因是非零矩阵，故至少有一个是非零向量。，则都是线性方程组的解。 有非零解，即。 得10分2试证明： 2证：设A的列向量组为，其极大无关组为，即设B的列向量组为，其极大无关组为，即将扩充为的列向量，则也是的极大无关组；将扩充为的列向量，则也是的极大无关组；易知线性无关。 得4分设列向量组的极大无关组为，即则任意必可由向量组线性表示，而任意的、都是的列向量，均可由线性表示；故向量组与向量组等价。得8分所以r=s+t，即。 得10分3设A为n阶满秩方阵(n2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n2A.3证： 得4分两边左乘A得，即 得8分又因
10、为A为n阶满秩方阵(n2)，即，。所以(A*)*=|A| n2A. 得10分4设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1.4证：(1)用反证法证明. 假设|A*|0, 则有A*(A*)-1=E, 由此得 A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O , 所以A*=O, 这与|A*|0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0. 得5分 (2)由于, 则AA*=|A|E, 取行列式得到 |A|A*|=|A|n. 若|A|0, 则|A*|=|A|n-1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|
11、A|n-1. 得10分5设A为mn矩阵，B为n阶矩阵，且r(A)=n，试证：（1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A则B=E。5证：（1）设B的列向量组为：，显然任意都是齐次线性方程组AX=0的解向量。因为r(Amn)=n，所以AX=0只有零解，即所有。故B=O。 得5分（2）若AB=A则AB-A=O，A(B-E)=O由（1）的结论可知(B-E)=O，即B=E。 得10分6设A、B为mn矩阵，则r(A+B)r(A)+r(B)。6证：设A的列向量组为，其极大无关组为，即设B的列向量组为，其极大无关组为，即 得2分设A+B列向量组为，其任意一个向量 可由向量组线性表示，即向量组可由向量组线性表示。 得8分所以r()r()s+t即r(A+B)r(A)+r(B)。 得10分7如果A是7证： 得2分, 得8分 得10分
