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1、.单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为mn,当n很大时,P(A)与mn的关系是()A.P(A)mnB.P(A)mnD.P(A)=mn【解析】选A.根据概率的统计定义可知,当试验次数n不断增大时,事件A发生的频率会趋于一个稳定值,该值的大小反映了事件A发生的可能性的大小,所以事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值.2.从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数和次品件数,下列事件是互斥事件的是()(1)恰好有1件次
2、品和恰好有两件次品.(2)至少有1件次品和全是次品.(3)至少有1件正品和至少有1件次品.(4)至少1件次品和全是正品.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解析】选D.互斥事件是两个事件不可能同时发生.3.(2015广东高考)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),
3、(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A=“恰有一件次品”,则P(A)=610=0.6.4.(2016临沂高一检测)在区域0x1,0y1内任意取一点P(x,y),则x2+y2a的概率是()A.45B.35C.25D.15【解析】选D.设=(a,b)|a1,2,3,4,5,b1,2,3,包含的基本事件数为53=15,事件“ba”可表示为(1,2),(1,3),(2,3),包含的基本事件数m=3,所以P=315=15.7.设
4、一元二次方程x2+bx+c=0,若b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为()A.112B.736C.1336D.1936【解析】选D.因为b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,所以一共有36种情况.由方程有实数根知,=b2-4c0,显然b1.当b=2时,c=1(1种);当b=3时,c=1,2(2种);当b=4时,c=1,2,3,4(4种);当b=5时,c=1,2,3,4,5,6(6种);当b=6时,c=1,2,3,4,5,6(6种).故方程有实数根共有19种情况,所以方程有实数根的概率是1936.【补偿训练】把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,记第
5、一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组ax+by=3,x+2y=2只有一个解的概率为()A.512B.1112C.513D.913【解析】选B.点(a,b)取值的集合共有66=36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax+by=3与x+2y=2相交,即a1b2,即b2a,而满足b=2a的点只有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故方程组ax+by=3,x+2y=2只有一个解的概率为3336=1112.8.已知直线y=x+b的横截距在-2,3范围内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是()A.15B.25C.35D.45【解析】选A.由题意知b-3,2,所以P(b大于1)=2-
6、12-(-3)=15.9.(2016全国卷)从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn【解析】选C.由题意得:(xi,yi)(i=1,2,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知41=mn,所以=4mn.10.(2016石家庄高一检测)在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以710为概率的事件是()A.恰有2件一等品B.至少有一
7、件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品【解析】选C.将3件一等品编号为1,2,3;2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1=610,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率为P2=310,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为P3=1-P2=1-310=710.11.一只猴子任意敲击电脑键盘
8、上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为()A.9100B.350C.3100D.29【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,9);(1,i)(i=0,1,2,9);(2,i)(i=0,1,2,9);(9,i)(i=0,1,2,9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9).共有9种.故所求概率为9100.12.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为A,从集合A中任取一
9、个元素,则函数y=x,x0,+)是增函数的概率为()A.37B.45C.35D.34【解析】选C.当x依次取值-3,-2,-1,0,1,2,3时,对应的y的值依次为:3,0,-1,0,3,8,15,所以集合A=-1,0,3,8,15,因为A,所以使y=x在x0,+)上为增函数的的值为3,8,15,故所求概率P=35.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为_.【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个;其中一个数是另一个两倍
10、的有(1,2),(2,4)两个事件,故概率为26=13.答案:1314.(2016潍坊高一检测)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为_.【解析】由题可知,白球的个数为1000.23=23,所以黑球的个数为100-23-45=32,所以概率为P=32100=0.32.答案:0.3215.(2016山东高考)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=|5k|k2+13,即-34k3
11、4,所以所求概率P=34-341-(-1)=34.答案:34【补偿训练】已知函数f(x)=log2x,x1,3,若在区间x1,3上随机取一点,则使得-1f(x0)1的概率为_.【解题指南】本题需要根据对数函数的图象准确解出简单的对数不等式,并结合函数的定义域求出不等式的正确解集.【解析】由函数-1f(x0)1得-1log2x01,解得x012,2,又函数f(x)的定义域为x1,3,所以不等式的最终解集为x01,2,所以-1f(x0)1的概率为P=2-13-1=12.答案:12【误区警示】本题易忽略函数的定义域而导致不等式的解集出错,从而导致结果错误.16.已知集合A=-1,0,1,3,从集合A
12、中有放回地任取两个元素x,y作为点M的坐标,则点M落在x轴上的概率为.【解题指南】先列出所有基本事件,再看点M落在x轴上包括哪几个基本事件,根据古典概型概率公式求解.【解析】所有基本事件构成的集合为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,3),其中“点M落在x轴上”的事件所含基本事件有(-1,0),(0,0),(1,0),(3,0),所以P=416=14.答案:14三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证
13、明过程或演算步骤)17.(10分)已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是17,从中取出2粒都是白子的概率是1235,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?【解析】从中取出2粒都是黑子与都是白子互斥,因而从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为17+1235=1735.18.(12分)同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币,计算:(1)恰有一枚出现正面的概率.(2)至少有两枚出现正面的概率.【解析】基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,正,正)共8个.(1)用A表示“恰有一枚出
