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线和椭圆的交点问题1若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围。解法一：由可得，即 且解法二：直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即 综述：且解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部，即且二、直线截椭圆所得弦长问题2已知椭圆，直线交椭圆于AB，求AB的长. 解法一：设A、B两点坐标分别为和 将直线方程代入椭圆方程 得关于的方程 又。 AB长为。解法二：直线过（1，0）点，即椭圆的右焦点 AB长为。评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。三、直线截椭圆所得弦中点有关问题3已知椭圆方程为，求： （1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。解析：设直线与椭圆交点为，则 得 （1）弦中点坐标为（4，1），则由式得直线斜率为直线方程为，即。（2）设弦中点坐标为，则由式可得 又，即轨迹方程为。（3）同（2），可知轨迹上的点是方程的解而， 将代入可得当时，直线与椭圆相交于和,中点为（4，0），经验证，也在上述椭圆上轨迹方程为。
