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1、,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,线性代数的相关资料： 1 Introduction to Linear Algebra，Gilbert Strang 著，麻省理工开放课程链接：http:/ 2 Linear algebra and its applications/线性代数及其应用/美 David C. Lay 著 3 Linear algebra with applications/线性代数/Steven J. Leon. 著 4 东南大学线代精品课程网站http:/ 5 同济的，浙大唐明编写的，东大张小向编写的“习题书” 6 高等代数.定理问题方法/胡
2、适耕，刘先忠编著 O15/36 7 线性代数学习指导/樊恽, 郑延履, 刘合国编 O151.2-42/18 8 高等代数， 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 王萼芳 石生明 著，高等教育出版社 （较难，数学系教材）,第四章 n维向量,第4节 向量的内积,二. 正交向量组和Schmidt正交化方法,正交向量组,标准正交向量组,正交基,标准正交基,1. 概念,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,发现的结论 设1, 2, , s是标准正交向量组, 且 = k11+k22+kss, 则ki = , i = 1, 2, , s.,2. 结论,定理4.10. 1, 2, , s正交线性无关.,定
3、理4.11 每个非零的向量空间V 都有标准 正交基 .,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,1 = 1, ,Schmidt正交化方法(务必掌握)：,再将1, 2, , s单位化得:,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,另外，从上述构造可总结： 设1, 2, , s线性无关(s2), 则存 在一个正交向量组1, 2, , s使得 1, 2, , t与1, 2, , t等价 (1 t s).,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,三. 正交矩阵(orthogonal matrix),定义 满足QTQ = E 或QQT = E (即Q1 = QT) 的
4、实方阵Q称为正交矩阵, 简称为正交阵.,定理4.12. 设Q为n阶实方阵, 则下列条件等价:,性质. (1) Q为正交阵|Q| = 1;,(2) Q的行(列)向量组构成Rn的一组 标准正交基;,(1) Q是正交阵;,(3) QT是正交阵; (4) Q1是正交阵.,(2) A, B为正交阵 AB为正交阵.,例 设,是 n 维列向量, Q为nn 的正交矩阵,则 | Q | = | |, = .,Q, Q的长度和夹角与 ,的长度和夹角相等,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,cos2 +sin2,sin2 +cos2,0,0,= E.,O,x,对应的正交变换,y,第四章 n维向量,4.4 向量的内
5、积,第四章 n维向量,第5节 线性方程组解的结构,行变换,4.5 线性方程组解的结构,一. 线性方程组的相容性,回忆： ARsn, bRs , 对于线性方程组Ax=b,例1,A, b,阶梯形A, b,(1)Ax=b有解 A 与 (A, b) 的非零行数相等； (2)当A 与 (A, b) 的非零行数都等于n时, Ax=b有唯一解； (3)当A 与 (A, b) 的非零行数(记为r)相等且小于n时, Ax=b有无穷多解, 通解中含有n r 个自由未知量.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,行变换,4.5 线性方程组解的结构,一. 线性方程组的相容性,回忆： ARsn, bRs , 对于线
6、性方程组Ax=b,例1,A, b,阶梯形A, b,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,4.5 线性方程组解的结构,一. 线性方程组的相容性,定理4.13. 设ARsn, bRs, 则,(1) Ax=b有解r(A, b) = r(A); (2) 当r(A, b)=r(A)=n时, Ax=b有 唯一解; (3) 当r(A, b)=r(A)n时, Ax=b 有 无穷多解, 且通解中含有n r(A) 个自由未知量.,例1,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,注：对于矩阵方程AX=B, 有以下结论。,AX=B 有解 r(A,B)=r(A),记 B=(b1 b2 bt). 则 AX=B 有解
7、A(x1 x2 xt) = (b1 b2 bt) 有解 Axj = bj 有解， j =1,2,t. r(A,bj) = r(A), j =1,2,t. r(A, b1 b2 bt)=r(A). (思考),第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,二. 齐次线性方程组的解的结构,另外, A = A(k )= k (A )= .,事实上, A = , A = A( +)=A +A = .,1. 设ARsn,下列集合构成Rn的一个子空间.,Rn | A = := K(A),称其为Ax= 的解空间或矩阵 A 的核空间(零空间).,设ARsn, 称向量空间K(A) 的基为 齐次线性方程组Ax= 的基础
8、解系 .,定义,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,Ax = 的解集,| A = ,1, 2, , s 线性无关,可以由 1, 2, , s 线性表示,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,2.,Ax =的一个基础解系,1, 2, , s, = k11+k22+kss,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,例1 设矩阵A 经过一系列初等行变换可化为,1 0 1 3 0 0 1 0 -2 0 0 0 0 0,求方程组Ax = 的基础解系.,定理4.14. 设ARsn, 秩(A) = r.,(1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r n, 则Ax = 有基础解系
9、, 且 dimK(A) = n r.,x1 = c1,r+1xr+1 + c1,r+2xr+2 + + c1nxn,x2 = c2,r+1xr+1 + c2,r+2xr+2 + + c2nxn, ,xr = cr,r+1xr+1 + cr,r+2xr+2 + + crnxn,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,注解,= xr+1 + xr+2 + + xn,定理4.14. 设ARsn, 秩(A) = r.,(1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r n, 则Ax = 有基础解系, 且 dimK(A) = n r.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,1 = ,
10、2 = ,nr = .,定理4.14. 设ARsn, 秩(A) = r.,(1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r n, 则Ax = 有基础解系, 且 dimK(A) = n r.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,求解齐次线性方程组Ax = 的基础解系的 一般步骤：,A,行 阶 梯 形,秩(A) n?,简 化 阶 梯 形,求得基 础解系,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,例2 设矩阵A 经初等行变换化为,0 2 0 3 0 1 1 0 -2 0 0 0 1 0,求Ax = 的基础解系.,例3 设矩阵A 经初等行
11、变换化为,-1 0 -1 0 0 1 1,求核空间K(A) 的基及维数. ( 注意区别值域R(A) ),例4. 证明 r(ATA)=r(A).,证明: 设A为mn的矩阵, x为n维列向量. 注意到Ax = (ATA)x = 同时，由(ATA)x = xT(ATA)x = 0 (Ax)T(Ax) = 0 Ax = . 故Ax = 与(ATA)x = 同解, 因此 nr(ATA)= nr(A). 进而得 r(ATA)=r(A).,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,K(A)=K(ATA),A可以是一个向量,例5 设A,B分别是sn,nt矩阵,证明：若 AB=O, 则 r(A)+r(B) n
12、. (即为推论2.8),第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,三. 非齐次线性方程组的一般解,1. Ax = b 的导出组: Ax = .,性质1. 设1, 2都是 Ax = b 的解, 则12是 Ax = 的解.,性质2. 是Ax = b的解, 是Ax = 的解, 则 +是Ax = b的解.,2.非齐次线性方程组的解向量的性质,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,定理4.15.,* 是 Ax = b 的一个特解,1, , nr Ax = 的基础解系,Ax = b的通解为,x = * + k11 +knrnr .,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,3. 解非齐次线性方程组Am
13、n x = b的一般步骤,A b,行 阶 梯 形,简 化 阶 梯 形,求得Ax=b的特解和Ax=的基础解系,求得Ax=b 的一般解,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,例6. 求方程组,的一般解.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,3 2 1 1 -2 1 3 -2 4 1 7 4 11 8 0 5 3,初等行变换,3 2 1 1 -2 0 -1 0 -4 1 11 0 0 -4 3 0 9,初等行变换,0 0 -19/2 4 71/2 0 1 0 4 -1 -11 0 0 1 -3/4 0 -9/4,四. 在解析几何中的应用,1. 两直线的相对位置,第四章 n维向量,4.5 方
14、程组解的结构,1. 两直线的相对位置,重 合,相 交,平 行,异 面,无穷多解,唯一解,无 解,位置关系,Ax=D,秩,无 解,r(A)=r(A,D) =2,r(A)=r(A,D) =3,r(A)=2, r(A,D)=3,r(A)=3, r(A,D)=4,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,有其它判断方法,例7. 当参数k取什么值时， 直线,相交？,L1,L2,P1,P2,s1,Q2,Q1,s2,Q2,注：改例子在第三章出现过。,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,2. 三平面的相对位置,1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,重 合,交于一线,交于一点,无交点,
