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1、如果别人思考数学的真理像我一样深 入持久, 他也会找到我的发现。 -高斯,第八章 线性常微分方程的级数解法 和某些特殊函数,夏尔厄米 夏尔 厄米，法国数学家，巴黎综合工科学校毕业，曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。他的研究领域包括数论，二次型，不变量理论，正交多项式，椭圆函数和代数。厄米多项式、厄米规范形式、厄米算子、厄米矩阵，和立方厄米样条都以他命名。 生于： 1822 年 12 月 24 日, 法国迪耶于兹 逝于： 1901 年 1 月 14 日, 法国巴黎,8.1 常点领域方程的级数解 勒让德方程,教学目的： 1、了解常点领域二阶常微分方程级 数解法； 2、掌握勒让德方程的
2、级数解法和勒 让德多项式的性质。 教学重点：勒让德方程二阶常微分方程级数解法。 教学难点：二阶常微分方程级数解基本方法,8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程,1.常点邻域线性常微分方程的级数解,4,（1）级数解法的基本思想：,（2）方程的常点和奇点,5,6,7,(3)解的存在和唯一性定理（不证明）,由于函数p(x),q(x)和y(x)在圆环域|x-x0|R内解析，所以我们： 展开p(x),q(x)和y(x)为泰勒级数，,其中an,bn(n=0,1,2,)是已知的，c0和c1由附加条件给出，而 cn(n=2,3,4)待定。, p(x),q(x)和y(x)的泰勒级数展开代入微分方程（8.1）式
3、得,(4)常点邻域级数解基本方法,整理得（先设k+2=n,然后再令k=n),比较等式两边同幂次系数求cn(n=0,1,2,),a.(x-x0)0项:(k=0,n=0)有,b.(x-x0)1项,确定收敛半径,即泰勒级数收敛圆。,2. 勒让德方程,化为标准形式：,点x=x0=1是方程的奇点,即一阶极点.,在x0=0点：p(x0)=0, q(x0)=l(l+1),即点x0=0是常点。,（1）l阶勒让德方程,10,设解y(x)为一泰勒级数,求l阶勒让德方程在x=0的邻域内的级数解,标准方程系数:,方程奇点与x=0点的奇常性分析:,递推公式,11,代入勒让德方程,展开第一项,整理得,比较同幂x前的系数有
4、,整理得,改写上式第一项,即令k=n-2,进一步写上式第一项,即再令n=k,由于c0的下标对应于偶数， c1的下标对应于奇数，为此我们令递推公式中的下标n分别取n=2k-2和n=2k-1与它们对应，即,12,找出cn与初始条件c0和 c1间关系,设n=2k-2:,设n=2k-1:,13,这样 l 阶勒让德方程的级数解是：,幂级数解的收敛半径,所以 l 阶勒让德的级数解在单位圆|x|1内收敛。 在单位圆外如何？下面我们用高斯判别法来判定。,14,但是，如果解是多项式，因为只有有限项，所以发散问题不存在了.,（2）勒让德多项式,考察偶函数系数的递推关系：,由系数的递推关系可知： 当2n=l时，c2
5、n+2=0, 级数退化为2n次多项式.,由条件:c1=0时,在x=1处, y(1)=c0y0(1)=1,确定c0,现在,y(x)=c0y0(x)是2n次多项式。,通过繁复计算得出,其中,由此确定的多项式称2n阶勒让德多项式并记为y(x)= c0y0(x)= P2n(x)，具体表达式为：,或记,特例,同理，奇函数系数的递推关系：,由系数的递推关系可知： 当2n+1=l时， c2n+2=0,级数退化为2n+1次多项式.,确定c1,取c0=0，则y(x)=c1y1(x)是2n+1次多项式。,再取c1值达到 y(1)=c1y1(1)=1,通过繁复计算得出,由此确定的多项式称2n+1阶勒让德多项式并记为
6、y(x)= c1y1(x) = P2n+1(x)，具体表达式为：,或记,例,例8.2 求厄米微分方程在x=0处的级数解(量子力学),解：系数函数：,系数函数表示点x=x0=0是方程的常点,即,在 点的邻域：,19,设解y（x）为泰勒级数,由解析函数的性质,说明：习惯上l的取值为0和正整数，因为当l取负整数时，给出与l取正整数时相同的结果。,递推公式,系数的两个序列,20,代入厄米方程,化简得,整理得,比较x前系数得,整理得,k=2n,k=2n+1,由系数的递推关系：,当k=2n是偶数，偶次项系数在k=(-1)/2以后为零, a2n+2=0 。,当k=2n+1是奇数，奇次项系数在k= k=(-1
7、)/2以后为零, a2n+3=0。,21,由系数的递推关系k=(-1)/2可知：ak+2=0,级数退化为厄米多项式Hn.,幂级数解的收敛半径,8.1 (3),本讲作业,8.2正则奇点邻域方程的级数解 柱贝塞尔方程,教学目的： 1、了解正则奇点领域二阶常微分方程级数解 法的基本定理富克斯定理； 2、掌握求解柱贝塞尔方程的级数解法。 教学重点：各类柱贝塞尔方程的级数解法。 教学难点：正则奇点领域二阶常微分方程级数解基本方法。,上一讲 复习,线性齐次变系数常微分方程 方程的常点：如果p(x)和q(x)都在点x0的邻域解析，则称为方程的常点。 常点领域内求方程级数解的一般步骤： （1）将方程常点领域内
8、的解展开为泰勒级数，代入策分方程； （2）比较系数，得到系数之间的递推关系； （3）反复利用递推关系，求出用c0,c1表示的系数ck的普遍表达式，最后得出级数解。,25,8.2 正则奇点邻域上的级数解法 柱贝塞尔方程,1 正则奇点邻域上方程的级数解,如果x0是方程 的正则奇点，即p(x) 以x0为不高于一阶的极点，q(x)以x0为不高于二阶的极点，即,其中s1和s2是由下列指标方程决定的两个根,s1-s20或整数：,s1-s2=0或整数：,正则奇点的充要条件富克斯（Fuchs）定理：,其中p1 (x)和q1(x)在x=x0处解析，则方程存在两个只有有限项负幂项的线性无关解。,设方程,比较x同幂
9、次项前系数,由的最低次幂项（k=0和n=0）的系数和为零可得,进一步设方程有解：,上述各式代入方程得,指标方程的导出：,把p(x)和q(x)在x=x0处展开为下列级数,解的一阶和二阶导数：,指标方程,(1)求出方程 的系数函数p(x)和q(x)，并把p(x)和q(x)展开标准级数形式，,正则奇点邻域上方程的级数解解题方法 ：,首先判断奇点是否正则奇点;然后比较等式两边求出a0和b0;,(2)把a0和b0代入指标方程,若s1-s20或整数，则设方程的两个独立级数解为：,得出s1和s2(约定：s的大值根取为s1)；,(3)判定s1和s2差s1-s2是否是整数（或是0）,上例中,当s1-s2=0或整
10、数时，常微分方程的两线性独立解：,（4）将解代入方程并比较系数，得到二组系数之间的递推关系；,（5）反复利用递推关系，求出用 表示的系数 的普遍表达式，最后得出级数解。,2 柱贝塞尔方程, s1-s20和正整数的情况,在x0=0的邻域上求解m阶贝塞尔方程,m整数或半整数,32,改写成标准形式,系数函数,x=0分别是p(x)的一级奇点和q(x)的二级奇点。,p(x) 和q(x)展开系数：,且：,由判定方程：,33,由于方程的二个解形式相同，为此设解为,代入微分方程得：,递推关系：,34,（1）当s1=m：,可得出递推关系,得第1个解,（2）当s2=-m：,可得出递推关系,得第2个解,35,取,可
11、得出递推关系,得第1个解,当s2=-m,可得出递推关系,得第2个解,m阶贝塞尔方程的通解,3 柱贝塞尔方程，m=半整数,在x0=0的邻域上求解,36,先考虑l=0的m=1/2阶贝塞尔方程,此方程的判定方程的两个根分别是s1=1/2和s2=-1/2, s1-s2=1是整数.则解的形式应为:,由s1=1/2和s2=-1/2,上述两式改写为,和,和,37,对于s1=1/2,有m=1/2的贝塞尔函数解,sinx的级数展开式,（调幅正弦函数 ）,38,对于s2=-1/2，设第二根解的形式为,得：,由于J1/2(x)是1/2阶贝塞尔方程的解,上式有,代入J1/2,我们有,由xn-1/2: x-1/2, x
12、1/2, x3/2项的系数为零可得,x0-1/2:,x1-1/2:,c1可取任意值 ；这是当时s1-s2=N时，出现的特殊情况；为此取 c1=0 。,x2-1/2:,x3-1/2:,x4-1/2:,x5-1/2:,xn-1/2:,因为下标0是偶数，为此设,将这些系数代入,得到,我们有,易证：,至于l+1/2 阶贝塞尔方程,41,1/2 阶贝塞尔方程的通解,此方程的判定方程的两个根分别是s1=l+1/2和s2=-(l+1/2), s1-s2=2l+1是整数.采用与1/2 阶贝塞尔方程类似的求解方法有下列解,l+1/2 阶贝塞尔方程通解,8.3(1),本讲作业,(1)求出方程 的系数函数p(x)和
13、q(x)，并把p(x)和q(x)展开标准级数形式，,正则奇点邻域上方程的级数解解题方法(复习) ：,首先判断奇点是否正则奇点;然后比较等式两边求出a0和b0;,(2)把a0和b0代入指标方程,若s1-s20或整数，则设方程的两个独立级数解为：,得出s1和s2(约定：s的大值根取为s1)；,(3)判定s1和s2差s1-s2是否是整数（或是0）,在此类情况,我们可以简化设解,当s1-s2=0或整数时，常微分方程的两线性独立解：,（4）将解代入方程并比较系数，得到二组系数之间的递推关系；,（5）反复利用递推关系，求出用 表示的系数 的普遍表达式，最后得出级数解。,4 柱贝塞尔方程，m=0或整数的情况
14、,在x0=0的邻域上求解,46,此方程的判定方程的两个根分别是s1=m和s2=-m, s1-s2=2m 是零或整数. 对于s1=m,有解m=整数的贝塞尔函数,m为自然数,其中(k+m)=(m+k-1)!,判别方程两根之差s1-s2=2m是整数，第二根特解形式为,47,对于s2=-m，第二根解的形式为,代入方程,得到,将Jm(x)代入上式，得到,通过繁复运算可以得出,而m阶柱贝塞尔函数的通解为,暂设m1，由x-m, x1-m, x2-m, x3-m项的系数为零可得,x-m: (-m)2-m2c0=0, 即 0c0=0, 得出 c0是任意的；,x1-m: (1-m)2-m2c1=0, 即 c1=0
15、；,x2-m: (2-m)2-m2c2+c0=0, 可得出,x3-m: (3-m)2-m2c3+c1=0, 可得出,x4-m: (3-m)2-m2c4+c2=0, 可得出,x2k-m: (2k-m)2-m2c2k+c2k-2=0, (这里lnx项仍为零) 可得出,x2k+1-m: (2k+1-m)2-m2c2k+1+c2k-1=0, 可得出,现在考察x等于或高于m的项的系数 (km; 即n=2m),xm: (2m-m)2-m2c2m+c2m-2+/2m-1(m-1)!=0, 可得出,0c2m+c2m-2+/2m-1(m-1)!=0,而c2m不能确定，因而是任意的。既然我们要找的是特解，因此可取
16、 c2m=0,x2m+1-m: (2m+1-m)2-m2c2m+1+c2m-1=0, 可得出c2m+1=0;,x2m+2-m: (2m+2-m)2-m2c2m+2+c2m+,x2m+3-m: (2m+3-m)2-m2c2m+3+c2m+1=0, 可得出c2m+3=0;,x2m+4-m: (2m+4-m)2-m2c2m+4+c2m+2+, ,一般地有,将这些系数代入,得出,可以将改写为,应当指出，上式是在的条件m1下得到的，其实当m=0时也成立，只要去掉其中,这一项即可。那么，m阶柱贝塞尔函数的通解为,通过繁复运算可以证明Nm(x)可以用下式表达,8.3(2),本讲作业,8.3 库默尔和高斯方程*,教学目的： 1
