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1、11.1,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,11.5.1、泰勒 ( Taylor ) 级数,11.5.3、泰勒级数的收敛性,泰勒级数与函数展开成幂级数,第十一章,11.5.4、函数展开成幂级数的方法,11.5.2、泰勒 ( Taylor ) 多项式,若函数,在(a,b)内有任意阶的导数，且可以生成级数。,令,则,11.5.1 泰勒 ( Taylor ) 级数,求出系数，即可求出级数。,（将 x = x0 代入）,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x
2、) ?,待解决的问题 :,定义11.8 若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求函数,的麦克劳林级数.,解:,其收敛半径为,故所求麦克劳林级数为,故得级数,Pn(x)称为 的 n 阶泰勒多项式 .,定义11.9,阶的导数 ,时, 有,则当,泰勒 目录 上页 下页 返回 结束,11.5.2、泰勒公式,例11. 求函数,在x=0的n阶泰勒多项式。,解:,所以，,解:,Pn(x) =,例11.32 写出,在x=0处的n阶泰勒多项式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泰勒多项式逼近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理11.13 泰勒中值定理 :,阶的
3、导数 ,时, 有,其中,则当,11.5.2、泰勒级数的收敛性,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,问题：,就可以写出,收敛，,即,不一定是它的泰勒级数的和函数。,定理11.14 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,即使收敛，,那么是否一定收敛于,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,由泰勒定理,对任何有限数 x , 其余项满足,故,( 在0与x 之间),机动 目录 上页 下页 返回 结束,由例11.32，它在x=0处的泰勒多项式为,例2. 将,展开成 x 的幂级数.,解
4、:,由例11.32，它在x=0处的泰勒多项式为,对任何有限数 x , 其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似地，可得,当 m = 1 时,11.5.4、函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,骤如下 :,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法, 利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4. 将函数,展
5、开成 x 的幂级数.,解: 因为,把 x 换成, 得,将所给函数展开成 幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 将,展成,解: 因为,的幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,所以,例6. 将,展成,解:,的幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 因为,所以,例8. 将,展成 x1 的幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,2. 常用函数的幂级数展开式,式的函数 .,当 m = 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P279 1, 2 (4) ; 3(1),
