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1、单元训练金卷高三数学卷（B）第十七单元 立体几何综合注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知不同直线，不同平面，则下列命题正确的是（ ）A若
2、，则B若，则C若，则D若，则2某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是（ ）ABCD3设，为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则4在正方形中，为棱的中点，则（ ）ABCD5如图，是直三棱柱，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）ABCD6已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）ABCD7九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面为矩形，棱若此几何体中，和都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）ABCD8已知一
3、个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD129在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为（ ）AB100CD10某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积是（ ）A2B4C6D811在正四棱锥中，已知，若、都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的（ ）A2倍B倍C倍D倍12如图，在棱长为1的正方体中，点、是棱、的中点，是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的取值范围是（ ）ABCD二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分请把答案填在题中横线上）13若某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是_14在正方体中，点为正方形的中
4、心，则异面直线与所成角为_15在长方体中，点，分别为，的中点，点在棱上，若平面，则四棱锥的外接球的体积为_16如图，在梯形中，、分别是、的中点，将四边形沿直线进行翻折，给出四个结论：；平面平面；平面平面在翻折过程中，可能成立的结论序号是_三、解答题（本大题有6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在三棱锥中，平面平面，点，(与，不重合)分别在棱，上，且求证：（1）平面；（2）18（12分）如图，在四棱锥中，且（1）证明：平面平面；（2）若，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积19（12分）如图，在三棱柱中，平面，底面三角形是边长为2的等边三角形，为的中点（1
5、）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求三棱柱的体积20（12分）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离21（12分）如图，且，且，且，平面，（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长22（12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值教育单元训练金卷高三数学卷答案（B）第十七单元 立体几何综合一、选择题（本大题共
6、12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【答案】D【解析】对于A，若，则，平行、相交或异面均有可能，不正确；对于B，若，则两个平面可能平行、相交，不正确；对于C，若，则或，不正确；对于D，垂直于同一直线的两个平面平行，正确，故选D2【答案】C【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体下半部分表示一个边长为2的正方体，其对应的表面积为；上半部分表示一个底边边长为2的正方形，高为2的正四棱锥，所以其斜高为，其正四棱锥的侧面积为，所以几何体的表面积为，故选C3【答案】C【解析】在A中，若，则与相交、平行或异面，故A错误；在B中，可以举出反例，
7、如图示，在正方体中，令为，面为面，为，面为面，满足，但是不成立，故B错误；在C中，因为，所以由可得，在平面内存在一条直线，使得，因为，所以，所以，故C正确；在D中，若，则由面面垂直的判定定理得，故D错误；故选C4【答案】C【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影，A若，那么，很显然不成立；B若，那么，显然不成立；C若，那么，成立，反过来时，也能推出，所以C成立；D若，则，显然不成立，故选C5【答案】A【解析】取的中点，连结，则，据此可得（或其补角）即为所求，设，则，在中应用余弦定理可得故选A6【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意
8、可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B7【答案】B【解析】过作平面，垂足为，取的中点，连结，过作，垂足为，连结和都是边长为2的等边三角形，又，几何体的表面积，故选B8【答案】A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为，故选A9【答案】C【解析】对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别是，则有，三个式子相加整理可得，所以长方体的对角线长为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积，故选C10【答案】B【解析】则，故选B11【答案】D【解析】设正四棱锥的底面的边长为，则四边形的面积为，从向作平面，则垂
9、足为底面的中心，因为，所以侧面都是边长为的等边三角形，则，所以，所以球的表面积，所以，所以选D12【答案】D【解析】因为平面，平面，所以，又因为，所以可得平面，当点在线段上时，总有，所以的最大值为，的最小值为，可得线段长度的取值范围是，故选D二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分请把答案填在题中横线上）13【答案】【解析】该几何体为四棱锥，所以体积为14【答案】【解析】如图所示：连接，则，的交点为，连接，由正方体的性质易得，又因为，所以面，所以，故，即异面直线与所成角为，故答案为15【答案】【解析】当是中点时，连接交于点，则是的中点，又因为别为的中点，所以，从而根据线面平行的判定定理
10、可得平面，所以四棱锥的外接球就是以，为棱的正方体的外接球，设外接球的半径为，则外接球直径等于正方体对角线长，所以，故答案为16【答案】【解析】作出翻折后的大致图形，如图所示对于，与相交，但不垂直，与不垂直，故错误；对于，设点在平面上的射影为点，则翻折过程中，点所在的直线平行于，当时，有，而可使条件满足，故正确；对于，当点落在上时，平面，平面平面，故正确；对于，点的射线不可能在上，不成立，故错误；综上所述，可能成立的结论序号是三、解答题（本大题有6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）在平面内，因为，所以又因为平面，平面，
11、所以平面（2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面因为平面，所以又，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以18【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由已知，得，由于，故，从而平面又平面，所以平面平面（2）在平面内作，垂足为由（1）知，面，故，可得平面设，则由已知可得，故四棱锥的体积由题设得，故从而，四棱锥的侧面积为19【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）连接交于点，连接因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）等边三角形中，平面，且，平面则在平面的射影为，故与平面所成的角为在中，算得，所以的体积20【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）在中，为中点，所以又
12、侧面底面，平面平面，平面，所以平面（2）连结，在直角梯形中，有且，所以四边形是平行四边形，所以由（1）知，为锐角，所以是异面直线与所成的角因为，在中，所以，在中，因为，所以，在中，所以异面直线与所成的角的余弦值为（3）由（2）得，在中，所以，又设点到平面的距离，由得，即，解得21【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】依题意，可以建立以为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，（1）依题意，设为平面的法向量，则即不妨令，可得，又，可得，又因为直线平面，所以平面（2）依题意，可得，设为平面的法向量，则即不妨令，可得设为平面的法向量，则即不妨令，可得因此有，于是所以，二面角的正弦值为（3）设线段的长为，则点的坐标为，可得，易知，为平面的一个法向量，故，由题意，可得，解得所以线段的长为22【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题设知，平面平面，交线为因为，平面，所以平面，故因为为上异于，的点，且为直径，所以又，所以平面而平面，故平面平面（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系当三棱锥体积最大时，为的中点由题设得，设是平面的法向量，则即可取，是平面的法向量，因此，所以面与面所成二面角的正弦值是
