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1、,微积分A,刻苦 勤奋 求实 创新,理学院工科数学教学中心,第九章 重 积 分,理解二重积分、三重积分的概念，及其性质, 掌握积分中值定理。,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).,会用重积分求一些几何量与物理量(如面积、体积、 曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等)。,了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、 球面坐标)。,重点与难点,重点：二重积分的计算方法, 三重积分的计算方法.,难点：三重积分计算方法, 重积分在几何及物理方面的应用.,回忆定积分.,设一元函数 y = f (x) 在a, b可积.,则,其中 ixi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区间
2、xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.,多元函数积分学的内容简介,一元积分学是讨论确定形式和式的极限，并用此思想得出了一些量的计算。,这种讨论和式的极限的思想可以推广到定义在区域、曲线及曲面上的多元函数的情形。,本章将推广到定义在空间区域上多元函数积分学为重积分。包含二重积分、三重积分等。,下章将推广到定义在曲线及曲面上多元函数积分学为线积分、面积分学。,柱体体积=底面积×高,特点：平顶,柱体体积=？,特点：曲顶,1. 曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,曲顶柱体：,以曲面：z=f(x,y)为顶， 一般z=f(x,y)在D上连续。,以平面有界区域D为底，,
3、侧面是柱面， 该柱面以D为准线， 母线平行于z轴。,还有其他类型的柱面。,设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续.,如何求积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,具体步骤见下页:,(i) 用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z = f (x,y),z = f (x,y),Di,Di,(ii)由于Di很小, z = f ) I 小曲顶柱体体积,(iii) 因此, 大曲顶柱体的体积,分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得“无
4、限细“, 则右端近似值会无限接近于精确值V.,也就是,(iv),其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.,其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积.,如图,当平面薄板的质量是均匀分布时, 平面薄板的质量 = 面密度×面积.,2. 平面薄板的质量 M.,(i) 用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,设一平面薄板, 所占区域为D , 面密度 (x, y) 0 连续. (x, y) D. 求该平面薄板的质量M.,Di,Di的面积记作 i .,Di,由于(x, y) 0 连续, 从而当Di很小时, (x, y) 在Di上的变化不大, 可近似看作(x, y)
5、在Di上是不变的.,从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.,(ii) 即, ( i , i) Di , 以 ( i , i)作为Di 这一 小片薄板的面密度.,从而,第 i 片薄板的质量 mi ( i , i) i,(iii)故, 平面薄板的质量,(iv),设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数.,将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1, 2, , n), 其面积记为 i.,(i, i) Di, 作积,f (i, i) i,二、二重积分的概念与性质,1.定义,积分区域,被积函数,面积微元,注1. 定积分,二重积分,区别在将小区间的长度 xi 换
6、成小区域的面积 i,将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i)换成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数值 f (i, i).,可见,二重积分是定积分的推广.,注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的 直线分割.(如图),则除边界上区域外, Di 的面积i = xi yi,故也将二重积分写成,注3. 可以证明若f (x, y)在D上连续, 则f (x, y)在D 上可积,若f (x, y)在D上有界, 且在D内只有有限个不连续点, 或只在有限条曲线上不连续, 则f (x, y)可积.,2. 二重积分的性质,设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在.,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,若在D上有f (x, y) g (x, y), 则,特别: (i) 若在D上f (x, y)0, 则,(ii),这是因为 | f (x, y)| f (x, y) | f (x, y) |,积分后即得.,性质5.,若在D上 m f (x, y) M, 则,设 f (x, y) C(D), 则(,)D, 使得,性质6.,性质7.,3. 二重积分的几何意义,(i) z=f (x, y)0,(ii) z= f (x, y)0,(iii),= (D1上曲顶柱体体积) (D2上曲顶柱体体积),设 x, y 在 D上可积, 则,Good,Bye,
