流体动力学基础_流体力学

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1、第四章 流体动力学基础,第一节 流体的运动微分方程 第二节 元流的伯努利方程 第三节 总流的伯努利方程 第四节 总流的动量方程 第五节 理想流体的无旋流动,第一节 流体的运动微分方程,一、理想流体运动微分方程 在运动的理想流体中，取微小平行六面体(质点)，正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行于x,y,z坐标轴(图41)。设六面体的中心点o，速度压强，分析该微小六面体方向的受力和运动情况。 1.表面力：理想流体内不存在切应力只有压强方向受压面(abcd面和abcd面)形心点,图41连续性微分方程,的压强为： 受压面上的压力为： 质量力： 由牛顿第二定律 得： ( ) -( ) +,化简得：

2、（41） 将加速度项展成欧拉法表达式 : （42）,用矢量表示为：,（43）,上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是控制理想流体运动的基本方程式。 1755年欧拉在所著的流体运动的基本原理中建立了欧拉运动微分方程式，及上一节所述的连续性微分方程式。对于理想流体的运动，含 有和四个未知量，由式(330)和式(336)组成的基本方程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求解。因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠定了理想流体动力学的理论基础。,二、粘性流体运动微分方程 1粘性流体的动压强 理想流体因无粘滞性，运动时不出现切应力，只有法向应力，

3、即动压强。用类似分析流体静压强特性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用面的方位无关，是空间坐标和时间变量的函数， 即 （，）。 粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作用，运动时出现切应力，使任一点的法向应力的大小与作用面的方位有关。如以应力符号的第个下角标表示作用面的方位，,第二个角标表示应力的方向，则法向应力 进步研究证明，任一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变，即 据此，在粘性流体中，把某点三个正文面上的法向应力的平均值定义为该点的动压强以p表示： （44） 如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数 。,2. 应力和变形速度的关系 粘性流体的应力与变形速度有关，

4、其中法向应力与线变形速度有关，切应力则与角变形速度有关,流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加法向应力，以 表示，它是流体微团在法线方向上发生线变形(伸长或缩短)引起的。 （45） 切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿内摩擦定律,将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动,得出 （46） 3粘性流体运动微分方程 采用类似于推导理想流体运动微分方程式（41）的方法，取微小平行 六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应力)表示的运动微分方程式，并以式(45)、式(46)代人整理，使得到粘性液体运动微分方程：,用矢量表示为

5、式中： 拉普拉斯算子。 粘性流体运动微分方程，又称为纳维斯托克斯方程(简写为NS方程)。,（48）,NS方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力(压力和粘性力) 的相平衡。由NS方程式和连续性微分方程式组成的基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说粘性流体的运动分析，归结为对NS方程的研究。 例41 理想流体速度场为 为常数。试求：（1）流动是否可能实现；（2）流线方程；（3）等压面方程(质量力忽略不计) 解 (1)由连续性微分方程 满足连续性条件，流动是可能实现的。 (2)由流线方程 得 ：,积分得流线方程 a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。 (3)由欧拉运动微分方

6、程式，不计质量力： 将方程组化为全微分形式:,积分，得 令p=常数 即得等压面方程 等压面是以坐标原点为中心的圆。,第二节 元流的伯努利方程,一、理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有特定条件下的积分，其中最为著名的是伯努利(Daniel Bernoull，17001782，瑞士科学家)积分。 （410）,由理想流体运动微分方程式 各式分别乘以沿流线的坐标增量dx，dy，dz，然后相加得： 、 1.引人限定条件： 作用在流体上的质量力只有重力：X=Y=0,Z=-g;,.不可压缩，恒定流：,.恒定流流线与迹线重合：dx=uxdt，dy=uydt，dz=

7、uzdt 则,相加带入后得：,理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，,由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线的伯努利方程就 是元流的伯努利方程。推导该方程引入的限定条件，就是理想流体元流伯努利方程的应用条件，归纳起来有：理想流体；恒定流动；质量力中只有重力；沿元流(流线)；不可压缩流体。,1.物理意义式 式子中的前两项 、 和 的物理意义分别是单位重量流体具有的比位能压能或比势能；单位重量流体具有的动能。,三项之和 是单位重量流体具有的机械能，沿同一无流(沿同一流线)。单位重量流体的机械能守恒。伯努利方程又称为能量方程。,2.流体意义,各项的流体力学意义为：z是位置水头， 压强水头；

8、两项之和 是测压管水头， 是流速水头，三项之和 称为总水头,图42水头线,表示理想流体的恒定流动，沿同一元流(沿同一流线)各断式(423)则面的总水头相等理想流体的水头线是水平线,3.几何意义 各项的几何意义是不同的几何高度：z是位置高度， 测压管高度。总结如下：,例42 应用皮托(Pito，H.)管测量点流速 前文指出，流速水头可直接量测，现以均匀管流为例加以说明。 设均匀管流，欲量测过流断面上某点A的流速(图43)。在该点放置 一根两端开口，前端弯转90的细管，使前端管口正对来流方向， 另一端垂直向上，此管称为测速管。来流在A点受测速管的阻滞速 度为零，动能全部转化为压能测速管中液面升高。

9、 另在A点上游的同一流线取相距很近的o点，因这两点相距很 近，o点的压强p实际上等于放置测速管以前A点的压强 应用理想流 体元流伯努利方程： （425） （426）,图43点流速的测量,式中o点的压强水头，由另根测压管量测， 于是测速管和测压管中液面的高度差,就是A 点的流速水头，该点的流速： （427） 根据上述原理，将测速管和测风管组合 成测量点流速的仪器，图44所示，与迎流 孔(测速孔)相通的是测速管，与侧面顺流孔 （测压孔或环形窄缝）相通的是测压管。考 虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在粘性效 应，以及皮托管队员流场的干扰等影响，引 用修正系数C：,图44 毕托管构造,录像,式中C是修正

10、系数数值接近于1.0，由实验测定。 【例4-3】 有一贮水装置如图（4-5）所示，水池足够大，当阀 门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管 中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm 时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。 【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数， 应用流体静力学基本方程 ， 求出值：,图45,所以管内流量：,三、粘性流体元流的伯努利方程 能量守恒原理：能量可以从一种形式转换成另一种形式，既不能创造、也不能消灭，总能量是恒定的 粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程减少，总水头

11、线是沿程下降。,因此，设为粘性流体元流单位重量流体由过流断面11运动至过流断面22的机械能损失，称为元流的水头损失，根据能量守恒原理，便可得到粘性流体元流的伯努利方程,水头损失 也具有长度的量纲。,第三节 总流的伯努利方程,上一节的最后得到了粘性液体元流的伯努利方程式，为了解决实际问题，还需要将其推广到总流中去。 一、渐变流及其性质 渐变流： 凡质点的迁移加速度(位变加速度)很小，的流动，或者说流线近于平行直线的流动渐变流是均匀流的宽延，所以均匀流的性质，对于渐变流都近似成立，主要是： 1渐变流的过流断面近于平面。面上各点的速度方向近于平行；,2恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布，

12、即：,二、总流的伯努利方程 设恒定总流，过流断面11、22为渐变流断面，面积为A1,A2由元流的伯努利方程：,图47急变流和渐变流,单位时间通过元流两过流断面的能量关系 总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分 便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系 分别确定三种类型的积分 第一类积分： 因所取过流断面是渐变流断面,第二类积分： 动能校正系数， 式中 是为校正以断面平均速度计算的动能与实际功能的差异而引入的校正系数， 值取决于过流断面上的流速分布情况，分布均匀的流动 。 通常取,第三类积分： 为总流单位重量流体由11至22断面的平均机械能损失，称总流的水头损失 两断面间无分流及汇流

13、，Q1Q2Q，并以 除上式，得,2. 伯努利方程的适用条件,式(437)即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努利方程推广为总流的伯努利方程，引入了某些限制条件，也就是总流伯努利方程的适用条件包括： .不可压缩流体恒定流； .质量力只有重力； 不可压缩流体(以上引自粘性流体元流的伯努利方程)； .所取过流断面为渐变流断面； .两断面间无分流和汇流； .两断面间无能量的输入或支出； .不存在相对运动。,3. 伯努利方程的方法步骤,.断面选择 通常选择未知量所在的断面和已知量最多的断面，它们 都必须是渐 变流断面； .代表点选择 无压流一般选择自由液面，有压流一般选在管道中心； .位置基准面选择

14、习惯选择在过各代表点最低者的水平面。位置准面选择对结果无影响； .压强基准面选择 液体一般选取相对压强；气体一般选取绝对压强。压强准面选择对结果无影响； .列伯努利方程 对于初学者，应该分项列出，哪怕是零，也应该写 出。但一般只用符号代替，而不代入具体数值，以 便推导出未知量的计算公式； .解伯努利方程 求解出题目中所要求的未知量； .给出答案 给出正确的答案,例43 用直径d100mm的水管从水箱引水(图49)。水箱水面与管道出口断面中心的高差H4m保持恒定，水头损失 3m水柱。试求管道的流量。 解 这是一道简单的总流问题，应用伯努利方程：,图49管道出流,求解的关键是“三选”：选基准面、计

15、算断面和计算点。为便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面为基准面00(图49)。计算断面应选在渐变流断面，并使其中一个已知量最多，另一个含待求量。技以上原则本题选水箱水面为11断面，计算点在自由水面上、运动参数z1=H,p1=0 (相对压强), v1=0 。选管道出口断面为22断面，以出H断面的中心运动参数z2=0,p2=0, v2待求。将各量代人总流伯努利方程： 取 得：,录像1,录像2,录像3,四、总流伯努利方程应用的修正 伯努利方程是古典水动力学应用最广的基本方程。应用伯努利方程要重视方程的应用条件，切忌不顾应用条件，随意套用公式，要对实际问题做具体分析，灵活运用。下面结合三种情况加以讨论。 1.气体的伯努利方程