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1、 二次函数 考点一 二次函数的图象与性质 概念：一般地，形如 （， 为常数） 的函数叫做二次函数 二次函数的图象与性质 函数（） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 ， () 最值 当 时， 有最 小 值 当 时， 有最 大 值 增 减 性 在对称 轴左侧 随 的增大而 减小 随 的增大而 增大 在对称 轴右侧 随 的增大而 增大 随 的增大而 减小 二次函数的另外两种表达方式： 顶点式 （） ；顶点坐标为（，）；对称轴是直线 ；当 时， 有最值 交点式 （）（），抛物线与 轴的交点为（，）， （，）；对称轴是直线 二次函数解析式的求法 方法 ：待定系数法，每确定一个字母系数，
2、就需要一个已知 点或条件；把已知点的坐标代入函数解析式，或者用已知条件列 出方程，求得该字母系数的值，写出函数解析式； 方法 ：平移图象法，在判断平移后的函数时，可以用平移规 律“上加下减，左加右减”直接写出；也可以把二次函数解析式化 为顶点式，按照平移的方式，求出新函数的顶点，用顶点式写出 新函数 考点二 系数 、 的作用 决定抛物线开口方 向及大小 ，抛物线开口 向上 ，抛物线开口 向下 续表 、 决定抛物线对称轴 的位置(对称轴为 直线 ) ，对称轴为 轴 ，对称轴在 轴 左侧 ，对称轴在 轴 右侧 决定抛物线与 轴 交点的位置 ，抛物线过 原点 ，抛物线与 轴交于正半轴 ，抛物线与 轴
3、交于负半轴 决定抛物线与 轴 的交点个数 时，与 轴有唯一交点 （顶点） 时，与 轴有两个不同 交点 时，与 轴没有交点 特殊关系 当 时， 当 时， ，即当 时， ，即当 时， 考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系 二次函数与一元二次方程之间的关系 （）二次函数 （）中，当 时， 的取值就 是一元二次方程 的解，即 的图象与 轴交点的横坐标就是一元二次方程 的实数根 抛物线 与 轴交点的数量由 的符号来 确定 （）一元二次方程 的解就是直线 与抛物 线 的交点的横坐标；解的数量就是交点的个数 （）直线 与抛物线 的交点坐标就是方 程组 ， 的解 二次函数与一元二次不等式之间的关系 （）一
4、元二次不等式 的解集就是抛物线 位于 轴上方部分的自变量 的取值范围；一元二次不等 式 的解集就是抛物线 位于 轴下方部 分的自变量 的取值范围 （）一元二次不等式 的解集就是抛物线 在直线 上方部分的自变量 的取值范围；一元二次不 等式 的解集就是抛物线 在直线 下 方部分的自变量 的取值范围 （）一元二次不等式 的解集就是抛物线 在直线 上方部分的自变量 的取值范围；一 元二次不等式 的解集就是抛物线 在直线 下方部分的自变量 的取值范围 第三章 变量与函数 方法一 待定系数法求二次函数的解析式 （）若已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式 （），利用待定系数法求得 ， 的值； （）若已知
5、抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点 式：（） （），其中顶点坐标为（，），对称轴为直 线 ； （）若已知抛物线与 轴的交点的横坐标，则可采用交点 式：（）（）（），其中与 轴的交点坐标为（， ），（，） 例 （ 广西百色， 分）经过 （，），（，）， （，）三点的抛物线的解析式是 解析 根据题意设抛物线的解析式为 （）（） （）， 把 （，）代入得，即 ， 则抛物线的解析式为 （）（） 答案 变式训练 （ 河南， 分）已知 （，），（，） 是抛物线 上两点，该抛物线的顶点坐标是 答案 （，） 解析 把 （，），（，）分别代入 中， 得 ， ， 解得 ， ， 抛物线的解析式为 ， （）（
6、） ， 该抛物线的顶点坐标为（，） 方法二 利用函数的图象和性质判断字母的取值 范围 在比较几个点的纵坐标大小时，方法一是画出图象，标出 这几个点，由点的上下位置来判断；方法二是先判断这几个点是 否在对称轴的同一侧，不在同一侧的，按照抛物线的对称性，找 到对称点；然后利用二次函数的增减性比较函数值的大小； 在判断有关 、 的式子的符号时，主要从抛物线开口方 向、对称轴的位置、特殊点等几个方面判断 判断不等式的解集时，可以先观察函数图象的位置，确定 符合题意的自变量 的取值范围 例 （ 黑龙江齐齐哈尔， 分）如图，抛物线 （）的对 称轴为直线 ，与 轴的一个交点在 （，）和（，）之间，其部分图象
7、如图所 示，则下列结论：； ；（ 为实数）；点 ， ()， ， ()， ， ()是该抛物线上的点，则 ，正确结论的个数是 （ ） 解析 抛物线的对称轴为直线 ， ，故正确； 与 轴的一个交点在（，）和（，） 之间， 由抛物线的对称性知，另一个交点在（，）和（，）之间， 抛物线与 轴的交点在 轴的负半轴上，即 ，故正确；由 知， 时 ，且 ，即 ，故 正确；由函数图象知当 时，函数取得最大值， ，即 （ 为实数），故错误； 抛物线的开 口向下，且对称轴为直线 ， 抛物线上的点离对称轴的水 平距离越小，函数值越大， ，故错误故选 答案 方法三 二次函数图象的平移规律 在判断平移后的函数图象时，用平
8、移规律“上加下减，左加 右减”直接写出；给出两个二次函数，判断平移的方法时，要把二 次函数解析式化为顶点式，按照顶点的变化写出平移方法 例 （ 江苏盐城， 分）如图，将 函数 （） 的图象沿 轴向上平移 得到一个新函数的图象，其中点 （，）、（， ）平移后的对应点分别为点 、若曲线段 扫过的面积为 （图中的阴影部分），则新函 数的表达式是（ ） （） （） （） （） 解析 函数 （） 的图象过点 （，）， （，）， （） ， （）， ， ()，（，）， 过 作 轴，交 的延长线于点 ，则 ， ()， 曲线段 扫过的面积为 ， ， ， 即将函数 （） 的图象沿 轴向上平移 个单位 长度得到一个新函数的图象， 新函数的表达式是 （） 故选 答案 变式训练 （ 新疆乌鲁木齐， 分）把抛物线 向左平移 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 答案 解析 易知 （） ，则把原抛物线向 左平移 个单位长度后得到的抛物线的解析式为
