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1、高 阶导数,一、高阶导数的定义 二、高阶导数求法举例 三、小结 思考题,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,二、 高阶导数求法举例,例1,解,1.直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例2,解,例3,解,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,而应分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),例4,解,同理可得,2. 高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,例5,解,3.间接法:,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式, 通过四则,运算, 变量代换等
2、方法, 求出n阶导数.,例6,解,如何求隐函数的二阶导数？下面通过例子介绍。,下页,解,上式两边再对x求导 得,方程两边对x求导 得,ye yxe yy,提示：,如何求参数方程所确定的函数的二阶导数？,下页,例8,解,四、相关变化率,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,例9,解,仰角增加率,思考题,思考题解答,不对,2.2 函数的微分,一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、微分形式的不变性 七、小结 思考题,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数
3、(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,二、微分的定义,定义,(微分的实质),由定义知:,三、可微的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,四、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),五、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,六、微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,例4,解,例3,解,例5,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,七、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数
4、的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,练 习 题,练习题答案,2.2.2 微分在近似计算中的应用,一、计算函数增量的近似值 二、计算函数的近似值 三、误差估计 四、小结 思考题,一、计算函数增量的近似值,例1,解,二、计算函数的近似值,例2,解,常用近似公式,证明,例2,解,三、误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.,定义：,问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得,办法:将误差确定在某一个范围内.,通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.,例3,解,四、小结,近似计算的基本公式,练 习 题,练习题答案,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,
