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1、3.2 函数极限的性质,一 .极限的性质 二 . 利用函数极限的性质 计算某些函数的极限,定理3.2,如果当xx0时f(x)的极限存, 那么这极限是唯一的,证明,(1),(2),一 函数极限的性质,1.唯一性,2.局部有界性,若极限,存在，,则函数,在,的某一空,心邻域上有界。,证明,3. 局部保号性,定理3.4,证明 设A0,对任何,0,使得对一切,这就证得结论.对于A 0的情形可,类似地证明.,推论,定理3.4(函数极限的局部保号性),如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何正数r0 (或f(x) -r 0),证明,推论,如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
2、 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0),3. 局部保号性,定理3.5(函数极限的保不等式性),证明,4 保不等式,推论,定理3.6,如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,证明,5 迫敛性,定理3.7设, 则,1）,2）,3）,6 四则运算法则,定理3.7之3）的证明,只要证,，,令,，由,，,使得当,时，有,， 即, 仍然由,，,.,，,使得当,时，有,.,取,，则当,时，有,即,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,定理的条件：,存在
3、,商的情形还须加上分母的极限不为0,定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商,定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立,二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限,.,.,已证明过以下几个极限：,（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限.,这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用, 参阅 4P3738. 我们将陆续证明这些公式.,利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数
4、的极限。,例 求,.,例 求,. 例 求,.,( 利用极限,和,),例4 证明,证,（不妨设1）,例6 求,例5 求,註: 关于,的有理分式当,时的极限. 参阅4P37, 利用公式,求A和B.,补充题: 已知,求极限方法举例,例7,解,小结:,例8,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例9,解,(消去零因子法),例10,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例11,解,先变形再求极限.,由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求 极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定
5、理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。,三、复合函数极限,定理 （复合函数极限运算法则变量代换法则）,证,由极限定义得,此定理表明：,则可作代换,极限过程的转化,注1,可得类似的定理,注2,定理中的限制条件,不能少,例如,令,例12,解,6）.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法：,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,四、小结,1 函数极限的性质,1）.唯一性；,2）. 局部有界性； 3. 局部保号性；,4 ） 保不等式；,5） 迫敛性；,7).复合函数的四则运算法则 .,作业,P47: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 , 9 .,
