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1、1,积分变换,2,引言,在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采取变换手段 两个数相乘 对数变换 坐标变换 有割痕的半平面-映射,3,积分变换是指通过积分运算，把一个 函数变成另一个函数的变换。,4,积分变换在一定条件下是一一对应的， 其中一个最主要的应用就是解微分方程。,基本思想：从原方程中求解非常困难， 但通过积分变换后的函数比较容易求解，这 样再通过积分逆变换求出原方程的解。,最常用的积分变换是：Fourier变换; Laplace变换.,5,第一章 Fourier变换,1.0 傅里叶(Fourier)级数,利用三角函数的周期性来展开周期函数,函数和级数并不完全是一个东西，
2、例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致。,6,最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.- Fourier级数,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,7,回忆：,8,9,复指数形式的Fourier级数,利用Euler公式 代入三角形式的Fourier级数，得Fourier级数的复指数形式 或者写为,10,1.1 Fourier积分,对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在-T/2,T/2之内等于f (t),
3、在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有,11,12,13,更严格的说，有如下Fourier积分定理：,Fourier积分定理,则有,14,也可以转化为三角形式,15,又考虑到积分,16,奇、偶函数的傅里叶积分,偶函数,奇函数,17,18,例1. 矩形脉冲函数为,1,-1,o,t,f (t),1,19,其Fourier积分表达式,方法一：根据Fourier积分公式的复数形式,当 时， 应以 代替,20,方法二：根据Fourier积分公式的三角形式来计算； 由于f(t)是偶函数，还可以根据Fourier余弦积分公式获得结果。,21,由结果可得,22,据此可以看出，利用Fourier积分表达式可以推证一些广义积分的结果. 这里，当 时，有 这就是著名的Dirichlet积分.,
