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1、2.1.1 函数与映射(一),2019/1/14,2,1.函数 (1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x) (2)近代定义:设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应 关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一 确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合 B的一个函数,记作y=f(x),xA. 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的 值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.,201
2、9/1/14,3,2.映射 设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射， 记作f:AB . 给定一个集合A到B的映射，且aA,bB.如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象. 设f:AB是集合A到集合B的一个映射.如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一一映射.,2019/1/14,4,3.函数的三要素 函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊映射.
3、,4.函数的表示法： 解析式法、列表法、图象法.,5.能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域.求 函数定义域的主要依据是: (1)分式的分母不等于0; (2)偶次方根的被开方数不小于0; (3)对数式的真数必须大于0; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1。,6.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。,2019/1/14,5,7.区间是数学中常用的术语与符号，它包括开区间(a,b)，闭区间a,b，半开半闭区间a,b)，(a,b.其中a、b分别为区间的左端点、右端点，b-a为区间长度，无穷大是个符号而不是一个数。用+
4、或-作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式。,2019/1/14,6,1.已知映射f:AB,其中集合A=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意aA,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中元素的个数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D.7,B,2.函数 的定义域是_,(-,-1,基础训练,2019/1/14,7,3.设函数 ， 则 x0 的取值范围是( ) A. (-1，1) B. (-1，+) C. (-，-2)(0，+) D. (-，-1)(1，+),D,4.定义域为-2,-1,0,1,2的函数f(x) 满足f(2)=
5、1,f(1)=2,f(0)=0,则 ( ) A.f(x)无最值 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是增函数 D.f(x)有反函数,B,2019/1/14,8,A0个 B1个 C2个 D3个,5. 四个图形中，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 ( ),2019/1/14,9,【解析】根据函数的定义：“集合M中的任一元素，在对应法则f作用下，在集合N中都有唯一元素与之对应.”由此逐一进行判断. 对于图a：M中属于（1，2的元素，在N中没有象，不符合定义； 对于图b：符合M到N的函数关系； 对于图c：M中有一部分的元素的象不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系； 对于图d：其象不唯一，因
6、此也不表示M到N的函数关系. 由上分析可知，应选B.,2019/1/14,10,C,6.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 ( ) A4,6,1,7 B7,6,1,4 C6,4,1,7 D1,6,4,7,2019/1/14,11,例1.设映射f：x-x2+2x是实数集M到实数集N的映射，若对于实数pN，在M中不存在原象，则p的取值范围是 （ ） A (1,+
7、) B1,+) C (-,1) D (-,1,2019/1/14,12,【解析】法1：由题意，要使p存在原象，则方程-x2+2x=p有实根；若不存在，方程x2-2x+p=0无实根，即=4-4p0，得p1，应选A,【答案】 A,法2：-x2+2x=-(x-1)2+1，即M中元素对应的象的取值范围是(-,1.应选A.,2019/1/14,13,【小结】对于映射f：AB的理解要抓住以下三点： (1)集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体，是一个系统； (2)对应法则f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系是不同的； (3)对于A中的任意元素a，在B中有唯一元素b与之相对
8、应.其要害在“任意”、“唯一”两词上.集合B中的元素可以没有原象. 本题解法一转化为方程解的问题，解法二转化为求函数值域问题.,2019/1/14,14,【解题回顾】如果f:AB是一一映射，则其对应法则f如何；若card(A)=3,card(B)=2，映射f:AB所有可能的对应法则f共有多少个?,例2.设集合A=a,b,B=0,1，试列出映射f:AB的所有可能的对应法则f.,2019/1/14,15,例3.求下列函数的定义域：,2019/1/14,16,例3.求下列函数的定义域：,2019/1/14,17,例3.求下列函数的定义域：,2019/1/14,18,变式练习,求下列函数的定义域：,2
9、019/1/14,19,例4.若函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为 R,求实数 a 的 取值范围,解题分析:因定义域为R,故x2+ax+10 对xR 恒成立, 而f(x)=x2+ax+1是二次函数,故考虑“”的正负来求。,解: 因所求函数定义域为R,知x2+ax+10 对xR 恒成立,故0，即a2-40，得a(-2,2),2019/1/14,20,变式练习,(3)已知函数y=lg(x2+ax+1)的值域为R，求a 的取值 范围。,(4)已知函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R，求a 的取值 范围。,答案(1)a2，或a-2（利用0）,答案(1)0a0和a=0两种情况讨论）,201
10、9/1/14,21,例5.(1)已知函数 f(x)的定义域为 1,4, 求f(x2) 的定义域。,解题分析： 由函数 f(x)的定义域为 1,4,可知1x24, 故只须解出该不等式就可以求出f(x2)的定义域。,解:根据题意，得： 1x24，,2019/1/14,22,例5.(2)已知函数 f(x)的定义域为 a,b,且a+b0 , 求f(x2)的定义域。,解题分析： 由函数 f(x)的定义域为 a,b,可知ax2b, 故只须解出该不等式就可以求出f(x2)的定义域。,解:根据题意，ba且b-a，b|a|0 由ax2b，得： 当a0 时， 当a0时，,解题回顾：复合函数y=fg(x)的定义域的求法是： 根据f(x)的定义域，列出g(x)的不等式，解该不等式即可求出fg(x)的定义域。,2019/1/14,23,变式练习,（5）* 已知函数 f(x)的定义域为 a,b,且a+b0 , 求下列各函数的定义域： g(x)=f(x)-f(-x): h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m0),
